関数 $y = ax^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 12$ となる。このとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 12$ となる。このとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$y = ax^2$ は原点を通る放物線であり、$x$ の変域が与えられている。$y$ の変域が $0 \le y \le 12$ であることから、放物線の頂点が $y=0$ であることがわかる。したがって、$a > 0$ である。

$x = -2$ のとき、$y = a(-2)^2 = 4a$ であり、$x = \frac{1}{2}$ のとき、$y = a(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}a$ である。

$x$ の変域 $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ において、$x = -2$ のときに $y$ の最大値をとる。

したがって、

$4a = 12$

$a = \frac{12}{4}$

$a = 3$

3. 最終的な答え

3