関数 $y = ax^2$ 上に点 A(-2, 2) と、x座標が4である点Bがある。 (1) $a$ の値を求める。 (2) 点 B の座標を求める。 (3) 2点 A, B を通る直線の式を求める。 (4) $\triangle OAB$ の面積を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ 上に点 A(-2, 2) と、x座標が4である点Bがある。

(1) $a$ の値を求める。

(2) 点 B の座標を求める。

(3) 2点 A, B を通る直線の式を求める。

(4) $\triangle OAB$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 A(-2, 2) が $y = ax^2$ 上にあるので、$x = -2$、$y = 2$ を代入する。

$2 = a(-2)^2$

$2 = 4a$

$a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(2) 点 B の x 座標は 4 である。 $y = \frac{1}{2}x^2$ に $x = 4$ を代入して、点 B の y 座標を求める。

$y = \frac{1}{2}(4)^2$

$y = \frac{1}{2}(16) = 8$

よって、点 B の座標は (4, 8)

(3) 点 A(-2, 2) と点 B(4, 8) を通る直線の式を $y = mx + n$ とおく。

点 A を通るので、$2 = -2m + n$

点 B を通るので、$8 = 4m + n$

連立方程式を解く。

$8 - 2 = (4m + n) - (-2m + n)$

$6 = 6m$

$m = 1$

$2 = -2(1) + n$

$n = 4$

よって、直線の式は $y = x + 4$

(4) $\triangle OAB$ の面積を求める。

直線 AB の式は $y = x + 4$ であるから、点 C (0, 4) とおく。

$\triangle OAB = \triangle OAC + \triangle OBC$ と考える。

$\triangle OAC$ の面積は、底辺を OC = 4 とすると、高さは A の x 座標の絶対値で 2 である。

$\triangle OAC = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$

$\triangle OBC$ の面積は、底辺を OC = 4 とすると、高さは B の x 座標で 4 である。

$\triangle OBC = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$

$\triangle OAB = \triangle OAC + \triangle OBC = 4 + 8 = 12$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) B(4, 8)

(3) $y = x + 4$

(4) $\triangle OAB = 12$ cm$^2$