自然数 $n$ に対して、$n^2 - 20n + 91$ の値が素数となるような $n$ を全て求める問題です。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$n^2 - 20n + 91$ の値が素数となるような $n$ を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解します。

$n^2 - 20n + 91 = (n - 7)(n - 13)$

この値が素数になるためには、因数のどちらか一方が1でなければなりません。

(i) $n - 7 = 1$ の場合

$n = 8$ となり、$n - 13 = 8 - 13 = -5$ なので、

$(n - 7)(n - 13) = 1 \times (-5) = -5$

素数は正である必要があるので、この場合は不適です。

(ii) $n - 13 = 1$ の場合

$n = 14$ となり、$n - 7 = 14 - 7 = 7$ なので、

$(n - 7)(n - 13) = 7 \times 1 = 7$

7は素数なので、$n = 14$ は条件を満たします。

(iii) $n - 7 = -1$ の場合

$n = 6$ となり、$n - 13 = 6 - 13 = -7$ なので、

$(n - 7)(n - 13) = -1 \times (-7) = 7$

7は素数なので、$n = 6$ は条件を満たします。

(iv) $n - 13 = -1$ の場合

$n = 12$ となり、$n - 7 = 12 - 7 = 5$ なので、

$(n - 7)(n - 13) = 5 \times (-1) = -5$

素数は正である必要があるので、この場合は不適です。

したがって、素数になる自然数 $n$ は6と14です。

3. 最終的な答え

$n = 6, 14$