男子4人、女子6人の中から4人を選ぶ。 (1) 男子2人と女子2人を選ぶ方法は何通りあるか。 (2) 男子を2人以上含む4人を選ぶ方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

男子4人、女子6人の中から4人を選ぶ。

(1) 男子2人と女子2人を選ぶ方法は何通りあるか。

(2) 男子を2人以上含む4人を選ぶ方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 男子2人と女子2人を選ぶ方法

男子4人から2人を選ぶ組み合わせの数は $_4C_2$ 通り。

女子6人から2人を選ぶ組み合わせの数は $_6C_2$ 通り。

よって、男子2人と女子2人を選ぶ方法の総数は、積の法則より $_4C_2 \times _6C_2$ 通り。

$_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$6 \times 15 = 90$

(2) 男子を2人以上含む4人を選ぶ方法

男子を2人以上含む場合は、

(i) 男子2人、女子2人

(ii) 男子3人、女子1人

(iii) 男子4人、女子0人

の3つの場合がある。

(i) 男子2人、女子2人の場合：上記より90通り

(ii) 男子3人、女子1人の場合：

男子4人から3人を選ぶ組み合わせの数は $_4C_3$ 通り。

女子6人から1人を選ぶ組み合わせの数は $_6C_1$ 通り。

$_4C_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4}{1} = 4$

$_6C_1 = 6$

よって、$4 \times 6 = 24$ 通り

(iii) 男子4人、女子0人の場合：

男子4人から4人を選ぶ組み合わせの数は $_4C_4 = 1$ 通り。

したがって、男子を2人以上含む4人を選ぶ方法の総数は、

$90 + 24 + 1 = 115$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 90通り

(2) 115通り