問題は、図2において、x軸上に点Cがあり、そのx座標は-4である。2点C, Pを通る直線をmとし、直線mとy軸の交点をQとする。 (1) 点Pが点Aに一致するとき、直線mの式をア～エの中から選ぶ。 (2) △PBCがPB=PCの二等辺三角形になるとき、四角形OBPQの面積を求める。

1. 問題の内容

問題は、図2において、x軸上に点Cがあり、そのx座標は-4である。2点C, Pを通る直線をmとし、直線mとy軸の交点をQとする。

(1) 点Pが点Aに一致するとき、直線mの式をア～エの中から選ぶ。

(2) △PBCがPB=PCの二等辺三角形になるとき、四角形OBPQの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pが点Aに一致する場合、直線mは点C(-4, 0)と点A(0, 14)を通る。直線mの式を$y=ax+b$とすると、

点Cを通るので、$0=-4a+b$

点Aを通るので、$14=b$

よって、$0=-4a+14$、$4a=14$、$a=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}=3.5$

したがって、直線mの式は$y=3.5x+14$なので、選択肢のエの$y=3x+14$が最も近い。

しかし、図を見ると直線の傾きは3より大きそうなので、もう少し検討する。

選択肢の中に直線は$y=2x+12$, $y=2x+14$, $y=3x+12$, $y=3x+14$がある。

点C(-4, 0)を通るので、$0=2(-4)+12=4$ (不適)、$0=2(-4)+14=6$ (不適)、$0=3(-4)+12=0$ (適)、$0=3(-4)+14=2$ (不適)

よって、$y=3x+12$は点Cを通る。また、y軸との交点は(0, 12)となる。点A(0, 14)に近いのは$y=3x+14$である。

(2) △PBCがPB=PCの二等辺三角形になる時を考える。点Bの座標を求める。PB=PCなので、点Pは線分BCの中点を通るx軸に垂直な直線上にある。

点Cのx座標は-4なので、点Bのx座標をbとすると、Pのx座標は$\frac{-4+b}{2}$である。

直線mは点C(-4, 0)を通る。

点Pのy座標は、点Aと点Bの中間くらいなので、y座標は7とする。

点Pを通るので、y=ax+12より、$7=a(\frac{-4+b}{2})+12$、$a=\frac{-10}{(-4+b)}$

PB=PCなので、点Pのx座標をtとすると、PB=$\sqrt{(t-b)^2+7^2}$, PC=$\sqrt{(t+4)^2+7^2}$

よって、$(t-b)^2+7^2=(t+4)^2+7^2$、 $(t-b)^2=(t+4)^2$、 $t-b=-(t+4)$、 $2t=b-4$, $t=\frac{b-4}{2}$

$m=y=3x+12$として計算する。

C(-4, 0), B(4, 0), P(0, 6), Q(0, 12)

四角形OBPQの面積は、三角形OBQの面積 - 三角形OBPの面積 = $\frac{1}{2}*4*12 - \frac{1}{2}*4*6= 24-12=12$

$y=3x+12$のとき、C(-4, 0), Q(0, 12)

Pのy座標を求める。$PB=PC$より、点Pのx座標は0。$P(0, 12)$。

面積を求める。$△OBQ=\frac{1}{2}*4*12=24$。$△PBC=\frac{1}{2}*8*12=48$

点Bのx座標は4。Q(0, 12), P(0, 6), O(0,0)四角形OBPQの面積=$\frac{1}{2}*OB*(OP+OQ)=\frac{1}{2}*4*(6+12)=36$

3. 最終的な答え

(1) ウ

(2) 36