直線 $y=2x-1$ が次の円によって切り取られてできる線分の長さを求め、その線分の中点の座標を求める問題です。 (1) $x^2 + y^2 = 2$

1. 問題の内容

直線 $y=2x-1$ が次の円によって切り取られてできる線分の長さを求め、その線分の中点の座標を求める問題です。

(1) $x^2 + y^2 = 2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、円の方程式と直線の方程式を連立させて、交点の $x$ 座標を求めます。$y=2x-1$ を $x^2 + y^2 = 2$ に代入すると、

$x^2 + (2x-1)^2 = 2$

$x^2 + 4x^2 - 4x + 1 = 2$

$5x^2 - 4x - 1 = 0$

$(5x + 1)(x - 1) = 0$

したがって、$x = -\frac{1}{5}, 1$ となります。

それぞれの $x$ 座標に対応する $y$ 座標を求めます。

$x = -\frac{1}{5}$ のとき、$y = 2(-\frac{1}{5}) - 1 = -\frac{2}{5} - 1 = -\frac{7}{5}$

$x = 1$ のとき、$y = 2(1) - 1 = 1$

よって、交点の座標は $(-\frac{1}{5}, -\frac{7}{5})$ と $(1, 1)$ です。

次に、線分の長さを求めます。

線分の長さは、2点間の距離の公式を使って計算します。

線分の長さ $= \sqrt{(1 - (-\frac{1}{5}))^2 + (1 - (-\frac{7}{5}))^2} = \sqrt{(\frac{6}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2} = \sqrt{\frac{36}{25} + \frac{144}{25}} = \sqrt{\frac{180}{25}} = \sqrt{\frac{36 \times 5}{25}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$

最後に、線分の中点の座標を求めます。

中点の座標は、2点の座標の平均を計算します。

中点の $x$ 座標 $= \frac{-\frac{1}{5} + 1}{2} = \frac{\frac{4}{5}}{2} = \frac{2}{5}$

中点の $y$ 座標 $= \frac{-\frac{7}{5} + 1}{2} = \frac{-\frac{2}{5}}{2} = -\frac{1}{5}$

したがって、中点の座標は $(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5})$ です。

3. 最終的な答え

線分の長さ: $\frac{6\sqrt{5}}{5}$

線分の中点の座標: $(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5})$