大人3人、子供5人の中から、合計4人を選ぶ。ただし、大人が2人、子供が2人選ばれる場合の数を求める。

## (14) 大人3人、子供5人の中から4人を選ぶとき、大人2人と子供2人を選ぶ選び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

大人3人、子供5人の中から、合計4人を選ぶ。ただし、大人が2人、子供が2人選ばれる場合の数を求める。

2. 解き方の手順

* 大人2人を選ぶ場合の数を計算する。3人の中から2人を選ぶので、組み合わせの公式 ${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いる。この場合、$n = 3$, $r = 2$なので、${}_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3$ 通り。

* 子供2人を選ぶ場合の数を計算する。5人の中から2人を選ぶので、組み合わせの公式を用いる。この場合、$n = 5$, $r = 2$なので、${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通り。

* 大人2人を選び、かつ子供2人を選ぶ場合の数は、それぞれの選び方の数を掛け合わせることで求まる。よって、$3 \times 10 = 30$ 通り。

3. 最終的な答え

30通り

## (15) 右の図は、ある地域の道を直線で示したものである。交差点Aから交差点Bまで遠回りをしないでいく最短の道順は何通りあるか。

1. 問題の内容

長方形の格子状の道において、左下の交差点Aから右上の交差点Bまで、最短経路で行く場合の数を求める。

2. 解き方の手順

* AからBまでの最短経路は、右に4回、上に3回移動する必要がある。

* したがって、全部で7回の移動のうち、右に移動する4回の選び方を考えればよい。

* これは、7回の移動の中から4回右を選ぶ組み合わせの数に等しいので、組み合わせの公式 ${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いる。この場合、$n = 7$, $r = 4$なので、${}_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$ 通り。

3. 最終的な答え

35通り