大小中3個のサイコロを投げたとき、それぞれの出た目を$a, b, c$とする。次の条件を満たす場合の数を求める。 (1) $a = b = c$ (2) $a < b < c$ (3) $a \le b \le c$

1. 問題の内容

大小中3個のサイコロを投げたとき、それぞれの出た目を$a, b, c$とする。次の条件を満たす場合の数を求める。

(1) $a = b = c$

(2) $a < b < c$

(3) $a \le b \le c$

2. 解き方の手順

(1) $a = b = c$の場合

$a, b, c$は全て同じ値なので、1から6のいずれかの値を取る。したがって、場合の数は6通り。

(2) $a < b < c$の場合

$a, b, c$は全て異なる値なので、1から6の中から異なる3つの数を選ぶ組み合わせを考える。これは、6個から3個を選ぶ組み合わせ$_6C_3$で求められる。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、場合の数は20通り。

(3) $a \le b \le c$の場合

$a, b, c$は同じ値でも良いので、重複組み合わせを考える。これは、1から6の数字から重複を許して3つ選ぶ組み合わせ$_6H_3$で求められる。

$_nH_r = _{n+r-1}C_r$より、

$_6H_3 = _{6+3-1}C_3 = _8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

したがって、場合の数は56通り。

3. 最終的な答え

(1) 6通り

(2) 20通り

(3) 56通り