与えられた数を小さい順に並べます。 (1) $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{8}$, $\sqrt{3}$ (2) $\frac{2}{3} + \log_8 7$, $1.5$, $\log_2 3$

1. 問題の内容

与えられた数を小さい順に並べます。

(1) $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{8}$, $\sqrt{3}$

(2) $\frac{2}{3} + \log_8 7$, $1.5$, $\log_2 3$

2. 解き方の手順

(1) 指数の形に変換し、指数を揃えて比較します。

$\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[4]{8} = 8^{\frac{1}{4}} = (2^3)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{4}}$

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

これらの指数を12で通分します。

$5^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{4}{12}} = \sqrt[12]{5^4} = \sqrt[12]{625}$

$2^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{9}{12}} = \sqrt[12]{2^9} = \sqrt[12]{512}$

$3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{6}{12}} = \sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729}$

$\sqrt[12]{512} < \sqrt[12]{625} < \sqrt[12]{729}$なので、$\sqrt[4]{8} < \sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$

(2) 底を揃えたり、近似値で評価したりして比較します。

$\frac{2}{3} + \log_8 7 = \frac{2}{3} + \frac{\log_2 7}{\log_2 8} = \frac{2}{3} + \frac{\log_2 7}{3} = \frac{2+\log_2 7}{3}$

$\log_2 7$ は $2^2=4 < 7 < 8=2^3$ なので、 $2 < \log_2 7 < 3$ です。

したがって、$4 < 2+\log_2 7 < 5$ より、$\frac{4}{3} < \frac{2+\log_2 7}{3} < \frac{5}{3}$

$\frac{4}{3} \approx 1.33$、$\frac{5}{3} \approx 1.67$ なので、$\frac{2}{3} + \log_8 7$ は 1.33 と 1.67 の間の値を取ります。

$1.5$ はそのままです。

$\log_2 3$ は、$2^1=2 < 3 < 4=2^2$ なので、$1 < \log_2 3 < 2$ です。

より正確に評価すると、 $\log_2 3 \approx 1.58$ くらいです。

よって、$\frac{2}{3} + \log_8 7 < 1.5 < \log_2 3$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt[4]{8}$, $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt{3}$

(2) $\frac{2}{3} + \log_8 7$, $1.5$, $\log_2 3$