男子5人と女子4人を一列に並べるとき、女子が男子より前に並ぶ並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

男子5人と女子4人を一列に並べるとき、女子が男子より前に並ぶ並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、全体の場合の数を計算します。

男子5人と女子4人の合計9人を一列に並べる場合の数は、$9!$ 通りです。

次に、女子と男子の並び順を考慮します。

9つの席から女子の席を4つ選ぶ方法は、$_9C_4$ 通りです。残りの5つの席は男子の席になります。

女子4人の並び方は $4!$ 通り、男子5人の並び方は $5!$ 通りです。

したがって、女子が男子より前に並ぶ並べ方は、

$_9C_4 \times 4! \times 5!$ で計算できます。

$_9C_4$ は $\frac{9!}{4!5!}$ と書き換えられます。

すると、

$\frac{9!}{4!5!} \times 4! \times 5! = 9!$ となり、全体の場合の数と同じになります。

しかし、これは誤りです。

正しくは、まず9人を並べる並び方は $9!$ 通り。

女子4人と男子5人を区別しないとして、同じ場所に並ぶ場合の数を考えます。

これは組み合わせの問題なので、9個の場所から女子の4人分の場所を選ぶ組み合わせの数 $_9C_4$ を計算します。

$_9C_4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

女子が男子より前に並ぶ並べ方は、全体の場合の数のうち、女子が男子より前に並んでいる場合だけを数えます。

9人を並べる並び方は $9! = 362880$ 通りです。

女子と男子の並び順は、女子が前に並ぶか、男子が前に並ぶかの2通りしかありません。

（正確には、女子と男子の並び順のパターンは126通りありますが、どのパターンでも、男子と女子の並び順が入れ替わったパターンが必ず存在します。）

したがって、女子が男子より前に並ぶ並べ方は、全体の場合の数の半分になります。

$\frac{9!}{2} = \frac{362880}{2} = 181440$

3. 最終的な答え

181440 通り