関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 3x + 4$ について、以下の2つの問題を解く。 (1) $f(x)$ を $x^2 + 2x - 1$ で割ったときの商と余りを求める。 (2) $f(x)$ の極値を求める。ただし、$f'(x) = 3(x^2 + 2x - 1)$ である。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 3x + 4$ について、以下の2つの問題を解く。

(1) $f(x)$ を $x^2 + 2x - 1$ で割ったときの商と余りを求める。

(2) $f(x)$ の極値を求める。ただし、$f'(x) = 3(x^2 + 2x - 1)$ である。

2. 解き方の手順

(1) 多項式の割り算を実行する。

$f(x)$ を $x^2 + 2x - 1$ で割ると、以下のようになる。

```

x + 1

x^2+2x-1 | x^3 + 3x^2 - 3x + 4

x^3 + 2x^2 - x

-----------------

x^2 - 2x + 4

x^2 + 2x - 1

-----------------

-4x + 5

```

したがって、商は $x + 1$、余りは $-4x + 5$ となる。

(2) $f(x)$ の極値を求める。

まず、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$f'(x) = 3(x^2 + 2x - 1) = 0$

$x^2 + 2x - 1 = 0$

この二次方程式を解く。解の公式より、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

$x = -1 + \sqrt{2}$ と $x = -1 - \sqrt{2}$ が極値の候補である。

次に、$f''(x)$ を計算する。

$f'(x) = 3(x^2 + 2x - 1)$ より、$f''(x) = 3(2x + 2) = 6(x+1)$

$x = -1 + \sqrt{2}$ のとき、$f''(-1 + \sqrt{2}) = 6(-1 + \sqrt{2} + 1) = 6\sqrt{2} > 0$ なので、$x = -1 + \sqrt{2}$ で極小値をとる。

$x = -1 - \sqrt{2}$ のとき、$f''(-1 - \sqrt{2}) = 6(-1 - \sqrt{2} + 1) = -6\sqrt{2} < 0$ なので、$x = -1 - \sqrt{2}$ で極大値をとる。

極小値は $f(-1 + \sqrt{2})$、極大値は $f(-1 - \sqrt{2})$ である。

$f(-1+\sqrt{2}) = (-1+\sqrt{2})^3+3(-1+\sqrt{2})^2-3(-1+\sqrt{2})+4 = (-1+3\sqrt{2}-6+2\sqrt{2})+3(1-2\sqrt{2}+2)-3(-1+\sqrt{2})+4 = (-7+5\sqrt{2})+3(3-2\sqrt{2})+3-3\sqrt{2}+4 = -7+5\sqrt{2}+9-6\sqrt{2}+3-3\sqrt{2}+4 = 9-4\sqrt{2}$.

$f(-1-\sqrt{2}) = (-1-\sqrt{2})^3+3(-1-\sqrt{2})^2-3(-1-\sqrt{2})+4 = (-1-3\sqrt{2}-6-2\sqrt{2})+3(1+2\sqrt{2}+2)-3(-1-\sqrt{2})+4 = (-7-5\sqrt{2})+3(3+2\sqrt{2})+3+3\sqrt{2}+4 = -7-5\sqrt{2}+9+6\sqrt{2}+3+3\sqrt{2}+4 = 9+4\sqrt{2}$.

3. 最終的な答え

(1) 商: $x + 1$, 余り: $-4x + 5$

(2) $x = -1 - \sqrt{2}$ で極大値 $9+4\sqrt{2}$, $x = -1 + \sqrt{2}$ で極小値 $9-4\sqrt{2}$ をとる。