(1) 関数 $f(x) = x^3$ の $x = 2$ における微分係数を定義に従って求める。 (2) 次の関数を微分する: (i) $f(x) = x^4 + 2x^3 + x + 1$ (ii) $f(x) = (x + 4)^3$ (3) 曲線 $y = x^3 + 2x$ 上の点 $(1, 3)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^3$ の $x = 2$ における微分係数を定義に従って求める。

(2) 次の関数を微分する:

(i) $f(x) = x^4 + 2x^3 + x + 1$

(ii) $f(x) = (x + 4)^3$

(3) 曲線 $y = x^3 + 2x$ 上の点 $(1, 3)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 微分係数の定義に従って求める。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

$f(x) = x^3$, $a = 2$ より、

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(2 + h)^3 - 2^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{8 + 12h + 6h^2 + h^3 - 8}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{12h + 6h^2 + h^3}{h} = \lim_{h \to 0} (12 + 6h + h^2) = 12$

(2)

(i) $f(x) = x^4 + 2x^3 + x + 1$ を微分する。

$f'(x) = 4x^3 + 6x^2 + 1$

(ii) $f(x) = (x + 4)^3$ を微分する。

$f'(x) = 3(x + 4)^2$

(3) 曲線 $y = x^3 + 2x$ 上の点 $(1, 3)$ における接線の方程式を求める。

まず、$y = x^3 + 2x$ を微分する。

$y' = 3x^2 + 2$

$x = 1$ のときの $y'$ の値を求める。

$y'(1) = 3(1)^2 + 2 = 3 + 2 = 5$

接線の傾きは $5$ である。

接線の方程式は、$y - 3 = 5(x - 1)$ となる。

$y = 5x - 5 + 3$

$y = 5x - 2$

3. 最終的な答え

(1) $f'(2) = 12$

(2) (i) $f'(x) = 4x^3 + 6x^2 + 1$

(ii) $f'(x) = 3(x + 4)^2$

(3) $y = 5x - 2$