問題4は、次の二次方程式を解の公式を利用して解く問題です。 (1) $x^2+4x+1=0$ (2) $2x^2-3x-4=0$ (3) $2x^2+4x-5=0$ (4) $10x^2+11x+2=0$ (5) $3x^2+x-2=0$ (6) $x^2-6x-5=0$ (7) $4x^2-12x+9=0$ (8) $8x^2-9x+2=0$ (9) $5x^2-9x+3=0$ (10) $8x^2+10x-3=0$ (11) $6x^2-5x+1=0$ (12) $9x^2-6x-4=0$

1. 問題の内容

問題4は、次の二次方程式を解の公式を利用して解く問題です。

(1) $x^2+4x+1=0$

(2) $2x^2-3x-4=0$

(3) $2x^2+4x-5=0$

(4) $10x^2+11x+2=0$

(5) $3x^2+x-2=0$

(6) $x^2-6x-5=0$

(7) $4x^2-12x+9=0$

(8) $8x^2-9x+2=0$

(9) $5x^2-9x+3=0$

(10) $8x^2+10x-3=0$

(11) $6x^2-5x+1=0$

(12) $9x^2-6x-4=0$

2. 解き方の手順

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解の公式は次のとおりです。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

各問題について、$a$, $b$, $c$ の値を特定し、この公式に代入して解を求めます。

(1) $x^2+4x+1=0$ の場合、$a=1$, $b=4$, $c=1$ なので、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$

(2) $2x^2-3x-4=0$ の場合、$a=2$, $b=-3$, $c=-4$ なので、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-4)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 32}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{4}$

(3) $2x^2+4x-5=0$ の場合、$a=2$, $b=4$, $c=-5$ なので、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 40}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{56}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{14}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{14}}{2}$

(4) $10x^2+11x+2=0$ の場合、$a=10$, $b=11$, $c=2$ なので、

$x = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4(10)(2)}}{2(10)} = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 80}}{20} = \frac{-11 \pm \sqrt{41}}{20}$

(5) $3x^2+x-2=0$ の場合、$a=3$, $b=1$, $c=-2$ なので、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(3)(-2)}}{2(3)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{-1 \pm 5}{6}$

$x = \frac{-1+5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ または $x = \frac{-1-5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

(6) $x^2-6x-5=0$ の場合、$a=1$, $b=-6$, $c=-5$ なので、

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 3 \pm \sqrt{14}$

(7) $4x^2-12x+9=0$ の場合、$a=4$, $b=-12$, $c=9$ なので、

$x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(4)(9)}}{2(4)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 144}}{8} = \frac{12 \pm 0}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

(8) $8x^2-9x+2=0$ の場合、$a=8$, $b=-9$, $c=2$ なので、

$x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(8)(2)}}{2(8)} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 64}}{16} = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{16}$

(9) $5x^2-9x+3=0$ の場合、$a=5$, $b=-9$, $c=3$ なので、

$x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(5)(3)}}{2(5)} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 60}}{10} = \frac{9 \pm \sqrt{21}}{10}$

(10) $8x^2+10x-3=0$ の場合、$a=8$, $b=10$, $c=-3$ なので、

$x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(8)(-3)}}{2(8)} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 96}}{16} = \frac{-10 \pm \sqrt{196}}{16} = \frac{-10 \pm 14}{16}$

$x = \frac{-10+14}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ または $x = \frac{-10-14}{16} = \frac{-24}{16} = -\frac{3}{2}$

(11) $6x^2-5x+1=0$ の場合、$a=6$, $b=-5$, $c=1$ なので、

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(6)(1)}}{2(6)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{12} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{12} = \frac{5 \pm 1}{12}$

$x = \frac{5+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ または $x = \frac{5-1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

(12) $9x^2-6x-4=0$ の場合、$a=9$, $b=-6$, $c=-4$ なので、

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(9)(-4)}}{2(9)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 144}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{180}}{18} = \frac{6 \pm 6\sqrt{5}}{18} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -2 \pm \sqrt{3}$

(2) $x = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{4}$

(3) $x = \frac{-2 \pm \sqrt{14}}{2}$

(4) $x = \frac{-11 \pm \sqrt{41}}{20}$

(5) $x = \frac{2}{3}, -1$

(6) $x = 3 \pm \sqrt{14}$

(7) $x = \frac{3}{2}$

(8) $x = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{16}$

(9) $x = \frac{9 \pm \sqrt{21}}{10}$

(10) $x = \frac{1}{4}, -\frac{3}{2}$

(11) $x = \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$

(12) $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{3}$