3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ があり、その1つの解が $1 - 3i$ である。ここで、$a$ と $b$ は実数である。$a$ と $b$ の値を求め、残りの解を求めよ。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ があり、その1つの解が $1 - 3i$ である。ここで、$a$ と $b$ は実数である。$a$ と $b$ の値を求め、残りの解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) **複素共役の解:**

係数が実数である3次方程式が複素数解を持つ場合、その共役複素数も解となる。したがって、$1 - 3i$ が解ならば、$1 + 3i$ も解である。

(2) **解と係数の関係:**

3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ の3つの解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とすると、解と係数の関係から以下の式が成り立つ。

* $\alpha + \beta + \gamma = 0$ (x^2 の係数が0のため)

* $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = a$

* $\alpha\beta\gamma = -b$

(3) **未知の解を求める:**

解の1つが $1 - 3i$、もう1つの解が $1 + 3i$ であるから、残りの解を $\gamma$ とすると、解と係数の関係から、

$(1 - 3i) + (1 + 3i) + \gamma = 0$

$2 + \gamma = 0$

$\gamma = -2$

よって、残りの解は $-2$ である。

(4) **aの値を求める:**

解と係数の関係より、

$a = (1-3i)(1+3i) + (1+3i)(-2) + (1-3i)(-2)$

$a = (1 - (3i)^2) + (-2 - 6i) + (-2 + 6i)$

$a = (1 + 9) - 4$

$a = 10 - 4 = 6$

(5) **bの値を求める:**

解と係数の関係より、

$-b = (1 - 3i)(1 + 3i)(-2)$

$-b = (10)(-2)$

$-b = -20$

$b = 20$

3. 最終的な答え

$a = 6$

$b = 20$

他の解: $1 + 3i$, $-2$