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以下の極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2+x})$

解析学極限関数の極限微分
2025/6/29

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。
lim⁡x→01x(12−12+x)\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2+x})

2. 解き方の手順

まず、括弧の中を計算します。
12−12+x=(2+x)−22(2+x)=x2(2+x)\frac{1}{2} - \frac{1}{2+x} = \frac{(2+x) - 2}{2(2+x)} = \frac{x}{2(2+x)}
したがって、極限は次のようになります。
lim⁡x→01x⋅x2(2+x)=lim⁡x→012(2+x)\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{2(2+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2(2+x)}
xx が 00 に近づくとき、12(2+x)\frac{1}{2(2+x)} は 12(2+0)\frac{1}{2(2+0)} に近づきます。
したがって、極限は次のようになります。
12(2+0)=12(2)=14\frac{1}{2(2+0)} = \frac{1}{2(2)} = \frac{1}{4}

3. 最終的な答え

14\frac{1}{4}

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