問題16(1): $5 < \sqrt{a} < 6$ を満たす自然数 $a$ の個数を求める。 問題16(2): $\sqrt{20 - 2a}$ の値が自然数となるような自然数 $a$ の値をすべて求める。 問題17: $\sqrt{18} [ア] \sqrt{2} [イ] \sqrt{9}$ の $[ア], [イ]$ に $+, -, \times, \div$ の記号をそれぞれ1つずつ入れて計算し、計算結果が整数となる組み合わせが何通りあるか求める。ただし、同じ記号は2回使わないこととする。

1. 問題の内容

問題16(1): $5 < \sqrt{a} < 6$ を満たす自然数 $a$ の個数を求める。

問題16(2): $\sqrt{20 - 2a}$ の値が自然数となるような自然数 $a$ の値をすべて求める。

問題17: $\sqrt{18} [ア] \sqrt{2} [イ] \sqrt{9}$ の $[ア], [イ]$ に $+, -, \times, \div$ の記号をそれぞれ1つずつ入れて計算し、計算結果が整数となる組み合わせが何通りあるか求める。ただし、同じ記号は2回使わないこととする。

2. 解き方の手順

問題16(1):

$5 < \sqrt{a} < 6$ の各辺を2乗すると、

$25 < a < 36$

したがって、$a$ は26から35までの整数。

$35 - 26 + 1 = 10$

問題16(2):

$\sqrt{20 - 2a}$ が自然数となるためには、$20 - 2a$ が0以上の平方数である必要がある。

$20 - 2a \geq 0$ より $2a \leq 20$ なので $a \leq 10$。

$20 - 2a = k^2$ (kは0以上の整数) とおくと、

$2a = 20 - k^2$

$a = 10 - \frac{k^2}{2}$

$a$ は自然数なので、$k^2$ は偶数でなければならない。したがって、$k$ も偶数。

$k = 0$ のとき $a = 10$

$k = 2$ のとき $a = 10 - \frac{4}{2} = 8$

$k = 4$ のとき $a = 10 - \frac{16}{2} = 2$

$k$ は6以上の偶数にはならない。なぜなら、$a$が0以下になり、自然数でなくなるから。

したがって、$a = 2, 8, 10$

問題17:

$\sqrt{18} [ア] \sqrt{2} [イ] \sqrt{9} = \sqrt{18} [ア] \sqrt{2} [イ] 3$

使用可能な記号は $+, -, \times, \div$。同じ記号は2回使えない。

組み合わせを考える。

1. $[ア] = +, [イ] = -$ のとき: $\sqrt{18} + \sqrt{2} - 3 = 3\sqrt{2} + \sqrt{2} - 3 = 4\sqrt{2} - 3$ (整数ではない)

2. $[ア] = +, [イ] = \times$ のとき: $\sqrt{18} + \sqrt{2} \times 3 = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ (整数ではない)

3. $[ア] = +, [イ] = \div$ のとき: $\sqrt{18} + \sqrt{2} \div 3 = 3\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{10\sqrt{2}}{3}$ (整数ではない)

4. $[ア] = -, [イ] = +$ のとき: $\sqrt{18} - \sqrt{2} + 3 = 3\sqrt{2} - \sqrt{2} + 3 = 2\sqrt{2} + 3$ (整数ではない)

5. $[ア] = -, [イ] = \times$ のとき: $\sqrt{18} - \sqrt{2} \times 3 = 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 0$ (整数)

6. $[ア] = -, [イ] = \div$ のとき: $\sqrt{18} - \sqrt{2} \div 3 = 3\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$ (整数ではない)

7. $[ア] = \times, [イ] = +$ のとき: $\sqrt{18} \times \sqrt{2} + 3 = 3\sqrt{2} \times \sqrt{2} + 3 = 3 \times 2 + 3 = 6 + 3 = 9$ (整数)

8. $[ア] = \times, [イ] = -$ のとき: $\sqrt{18} \times \sqrt{2} - 3 = 3\sqrt{2} \times \sqrt{2} - 3 = 3 \times 2 - 3 = 6 - 3 = 3$ (整数)

9. $[ア] = \div, [イ] = +$ のとき: $\sqrt{18} \div \sqrt{2} + 3 = 3\sqrt{2} \div \sqrt{2} + 3 = 3 + 3 = 6$ (整数)

1

0. $[ア] = \div, [イ] = -$ のとき: $\sqrt{18} \div \sqrt{2} - 3 = 3\sqrt{2} \div \sqrt{2} - 3 = 3 - 3 = 0$ (整数)

整数となるのは、(5), (7), (8), (9), (10) の5通り。

3. 最終的な答え

問題16(1): 10個

問題16(2): a = 2, 8, 10

問題17: 5通り