数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots$ の初項から第800項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots$ の初項から第800項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

この数列は、分母が等しい項ごとにグループ分けすると、

第 $n$ グループは分母が $n+1$ で、分子は $1$ から $n$ までの整数となる。

第 $n$ グループの項数は $n$ である。

第 $n$ グループまでの項数の合計 $S_n$ は、

$S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

$S_n \le 800$ となる最大の $n$ を求める。

$\frac{n(n+1)}{2} \le 800$

$n(n+1) \le 1600$

$n^2 + n - 1600 \le 0$

$n$ の概算値を求めるために、$n^2 \approx 1600$ とすると、$n \approx 40$となる。

$n = 39$ のとき、$S_{39} = \frac{39 \times 40}{2} = 39 \times 20 = 780$

$n = 40$ のとき、$S_{40} = \frac{40 \times 41}{2} = 20 \times 41 = 820$

したがって、第39グループまでの項数は780項である。

800項までの和を求めるためには、第40グループの最初の20項が必要となる。

第40グループは $\frac{1}{41}, \frac{2}{41}, \dots, \frac{40}{41}$ である。

第 $n$ グループの和は、$\frac{1}{n+1} + \frac{2}{n+1} + \dots + \frac{n}{n+1} = \frac{1 + 2 + \dots + n}{n+1} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n+1} = \frac{n}{2}$

第39グループまでの和は、

$\sum_{k=1}^{39} \frac{k}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{39} k = \frac{1}{2} \times \frac{39 \times 40}{2} = \frac{39 \times 20}{2} = 39 \times 10 = 390$

第40グループの最初の20項の和は、

$\frac{1}{41} + \frac{2}{41} + \dots + \frac{20}{41} = \frac{1+2+\dots+20}{41} = \frac{\frac{20 \times 21}{2}}{41} = \frac{10 \times 21}{41} = \frac{210}{41}$

したがって、初項から第800項までの和は、

$390 + \frac{210}{41} = \frac{390 \times 41 + 210}{41} = \frac{15990 + 210}{41} = \frac{16200}{41}$

3. 最終的な答え

$\frac{16200}{41}$