次の関数を微分する。 (1) $y = \sqrt{x^2 + 2}$ (2) $y = e^{2x}$ (3) $y = \sin(3x + 2)$ (4) $y = \log(2x - 5)$ (5) $y = e^{x^2} \log x$ (6) $y = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}$ (7) $y = \frac{x}{\sqrt{2x + 1}}$ (8) $y = \sinh(-4x + 1)$

1. 問題の内容

次の関数を微分する。

(1) $y = \sqrt{x^2 + 2}$

(2) $y = e^{2x}$

(3) $y = \sin(3x + 2)$

(4) $y = \log(2x - 5)$

(5) $y = e^{x^2} \log x$

(6) $y = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}$

(7) $y = \frac{x}{\sqrt{2x + 1}}$

(8) $y = \sinh(-4x + 1)$

2. 解き方の手順

各関数について、微分を計算する。

(1) $y = \sqrt{x^2 + 2} = (x^2 + 2)^{1/2}$

連鎖律を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(x^2 + 2)^{-1/2} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}}$

(2) $y = e^{2x}$

連鎖律を用いる。

$\frac{dy}{dx} = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$

(3) $y = \sin(3x + 2)$

連鎖律を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \cos(3x + 2) \cdot 3 = 3\cos(3x + 2)$

(4) $y = \log(2x - 5)$

連鎖律を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2x - 5} \cdot 2 = \frac{2}{2x - 5}$

(5) $y = e^{x^2} \log x$

積の微分法を用いる。

$\frac{dy}{dx} = (e^{x^2})' \log x + e^{x^2} (\log x)' = (2x e^{x^2}) \log x + e^{x^2} \cdot \frac{1}{x} = e^{x^2} (2x \log x + \frac{1}{x})$

(6) $y = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = (\frac{x - 1}{x + 1})^{1/2}$

連鎖律と商の微分法を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (\frac{x - 1}{x + 1})^{-1/2} \cdot (\frac{(x - 1)'(x + 1) - (x - 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2}) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} \cdot (\frac{(x + 1) - (x - 1)}{(x + 1)^2}) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} \cdot \frac{2}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1) \sqrt{(x - 1)(x + 1)}} = \frac{1}{(x + 1) \sqrt{x^2 - 1}}$

(7) $y = \frac{x}{\sqrt{2x + 1}}$

商の微分法を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x)'\sqrt{2x + 1} - x (\sqrt{2x + 1})'}{(\sqrt{2x + 1})^2} = \frac{\sqrt{2x + 1} - x \cdot \frac{1}{2} (2x + 1)^{-1/2} \cdot 2}{2x + 1} = \frac{\sqrt{2x + 1} - \frac{x}{\sqrt{2x + 1}}}{2x + 1} = \frac{(2x + 1) - x}{(2x + 1)^{3/2}} = \frac{x + 1}{(2x + 1)^{3/2}}$

(8) $y = \sinh(-4x + 1)$

連鎖律を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \cosh(-4x + 1) \cdot (-4) = -4\cosh(-4x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}$

(3) $\frac{dy}{dx} = 3\cos(3x + 2)$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{2x - 5}$

(5) $\frac{dy}{dx} = e^{x^2} (2x \log x + \frac{1}{x})$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x + 1) \sqrt{x^2 - 1}}$

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{x + 1}{(2x + 1)^{3/2}}$

(8) $\frac{dy}{dx} = -4\cosh(-4x + 1)$