## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{1/2}^{e^2/2} \log(2x) dx$

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2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解くことができます。

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

ここで、$u = \log(2x)$ と $dv = dx$ とします。

すると、$du = \frac{1}{2x} \cdot 2 dx = \frac{1}{x} dx$ と $v = x$ となります。

したがって、

$\int \log(2x) dx = x \log(2x) - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log(2x) - \int 1 dx = x \log(2x) - x + C$

次に、定積分の範囲で評価します。

$\int_{1/2}^{e^2/2} \log(2x) dx = [x \log(2x) - x]_{1/2}^{e^2/2} = \left(\frac{e^2}{2} \log\left(2 \cdot \frac{e^2}{2}\right) - \frac{e^2}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} \log\left(2 \cdot \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2}\right)$

$= \left(\frac{e^2}{2} \log(e^2) - \frac{e^2}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} \log(1) - \frac{1}{2}\right)$

$= \left(\frac{e^2}{2} \cdot 2 - \frac{e^2}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2}\right)$

$= e^2 - \frac{e^2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{e^2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{e^2 + 1}{2}$

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3. 最終的な答え

$\frac{e^2+1}{2}$