定積分 $\int_{-1}^{1} (x^2 + 1)^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} (x^2 + 1)^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $(x^2 + 1)^2$ を展開します。

$(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

次に、積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} (x^4 + 2x^2 + 1) dx$

積分区間が $-1$ から $1$ であることと、$x^4$, $2x^2$, $1$ が偶関数であることから、次の性質を利用できます。

$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ (ただし、$f(x)$ は偶関数)

したがって、

$\int_{-1}^{1} (x^4 + 2x^2 + 1) dx = 2 \int_{0}^{1} (x^4 + 2x^2 + 1) dx$

積分を計算します。

$2 \int_{0}^{1} (x^4 + 2x^2 + 1) dx = 2 \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_{0}^{1}$

$2 \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1 \right) - 2(0)$

$2 \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1 \right) = 2 \left( \frac{3}{15} + \frac{10}{15} + \frac{15}{15} \right) = 2 \left( \frac{28}{15} \right)$

$\frac{56}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{56}{15}$