定積分 $\int_{-1}^{1} \sqrt{4-x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} \sqrt{4-x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、三角関数による置換積分を行います。$x = 2\sin\theta$ と置換すると、$dx = 2\cos\theta d\theta$ となります。また、積分の範囲も変更する必要があります。

$x=-1$ のとき、$-1 = 2\sin\theta$ なので、$\sin\theta = -\frac{1}{2}$ となり、$\theta = -\frac{\pi}{6}$ です。

$x=1$ のとき、$1 = 2\sin\theta$ なので、$\sin\theta = \frac{1}{2}$ となり、$\theta = \frac{\pi}{6}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{-1}^{1} \sqrt{4-x^2} dx = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{4 - (2\sin\theta)^2} (2\cos\theta) d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} (2\cos\theta) d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{4(1 - \sin^2\theta)} (2\cos\theta) d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} 2\sqrt{\cos^2\theta} (2\cos\theta) d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} 4\cos^2\theta d\theta$

ここで、$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ を使います。

$\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} 4\cos^2\theta d\theta = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} 4 \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right) d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} (2 + 2\cos(2\theta)) d\theta$

$= [2\theta + \sin(2\theta)]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}$

$= \left(2\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(2\cdot\frac{\pi}{6}\right)\right) - \left(2\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(2\cdot\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\right)$

$= \left(\frac{\pi}{3} + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) - \left(-\frac{\pi}{3} + \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$

$= \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \left(-\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$= \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$