定積分 $\int_{1/2}^{e^2/2} \log(2x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1/2}^{e^2/2} \log(2x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて解きます。

$u = \log(2x)$ と $dv = dx$ とおきます。

すると $du = \frac{1}{x} dx$ と $v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$$\int \log(2x) dx = x \log(2x) - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log(2x) - \int 1 dx = x \log(2x) - x + C$$

となります。

したがって、定積分は

$$\int_{1/2}^{e^2/2} \log(2x) dx = [x \log(2x) - x]_{1/2}^{e^2/2}$$

$$= \left( \frac{e^2}{2} \log(2 \cdot \frac{e^2}{2}) - \frac{e^2}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} \log(2 \cdot \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \right)$$

$$= \left( \frac{e^2}{2} \log(e^2) - \frac{e^2}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} \log(1) - \frac{1}{2} \right)$$

$$= \left( \frac{e^2}{2} \cdot 2 - \frac{e^2}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \right)$$

$$= \left( e^2 - \frac{e^2}{2} \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \right)$$

$$= \frac{e^2}{2} + \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{e^2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{e^2 + 1}{2}$