$\int_{0}^{1} \log(1+x) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{1} \log(1+x) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解きます。

$\int u dv = uv - \int v du$

ここで、$u = \log(1+x)$、$dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x} dx$、$v = x$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{1} \log(1+x) dx = [x\log(1+x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{1+x} dx$

$= 1 \cdot \log(1+1) - 0 \cdot \log(1+0) - \int_{0}^{1} \frac{x+1-1}{1+x} dx$

$= \log(2) - \int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{1+x}) dx$

$= \log(2) - [x - \log(1+x)]_{0}^{1}$

$= \log(2) - [(1 - \log(1+1)) - (0 - \log(1+0))]$

$= \log(2) - (1 - \log(2) - 0)$

$= \log(2) - 1 + \log(2)$

$= 2\log(2) - 1$

3. 最終的な答え

$2\log(2) - 1$