与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} 4k(k-1)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} 4k(k-1)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、和の記号の中身を展開します。

$4k(k-1) = 4k^2 - 4k$

次に、和の性質を利用して、和を分割します。

$\sum_{k=1}^{n} 4k(k-1) = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらの公式を代入します。

$4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k = 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4\frac{n(n+1)}{2}$

共通因数 $4n(n+1)$ を括り出すことを目指します。

$4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4\frac{n(n+1)}{2} = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) = 2n(n+1) \left(\frac{2n+1}{3} - 1 \right)$

括弧の中を計算します。

$\frac{2n+1}{3} - 1 = \frac{2n+1-3}{3} = \frac{2n-2}{3} = \frac{2(n-1)}{3}$

したがって、

$2n(n+1) \left(\frac{2n+1}{3} - 1 \right) = 2n(n+1) \frac{2(n-1)}{3} = \frac{4n(n+1)(n-1)}{3}$

$n(n+1)(n-1) = n(n^2 - 1) = n^3 - n$ なので、

$\frac{4n(n+1)(n-1)}{3} = \frac{4n(n^2 - 1)}{3} = \frac{4n^3 - 4n}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4n(n+1)(n-1)}{3} = \frac{4n^3-4n}{3}$

または

$\frac{4n(n^2-1)}{3}$