数列 $\frac{1-r^n}{1+r^n}$ の極限を、以下の4つの場合について求める。 (1) $r > 1$ (2) $r = 1$ (3) $|r| < 1$ (4) $r < -1$

1. 問題の内容

数列 $\frac{1-r^n}{1+r^n}$ の極限を、以下の4つの場合について求める。

(1) $r > 1$

(2) $r = 1$

(3) $|r| < 1$

(4) $r < -1$

2. 解き方の手順

(1) $r > 1$ の場合:

分子と分母を $r^n$ で割ると、

$\frac{1-r^n}{1+r^n} = \frac{\frac{1}{r^n}-1}{\frac{1}{r^n}+1}$

$r>1$ より $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{r^n} = 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{r^n}-1}{\frac{1}{r^n}+1} = \frac{0-1}{0+1} = -1$

(2) $r = 1$ の場合:

$\frac{1-r^n}{1+r^n} = \frac{1-1^n}{1+1^n} = \frac{1-1}{1+1} = \frac{0}{2} = 0$

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{1-r^n}{1+r^n} = 0$

(3) $|r| < 1$ の場合:

$|r| < 1$ より $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1-r^n}{1+r^n} = \frac{1-0}{1+0} = 1$

(4) $r < -1$ の場合:

$r < -1$ のとき、$r^n$ は振動し、極限値を持たない。

$\frac{1-r^n}{1+r^n} = \frac{\frac{1}{r^n}-1}{\frac{1}{r^n}+1}$

$r < -1$ なので、$r^n$ は $n$ が偶数のとき正、奇数のとき負となる。

$\lim_{n \to \infty} r^n$ は発散し、振動するため、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{r^n} = 0$ とはならない。

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{1-r^n}{1+r^n}$ は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $r > 1$ のとき、$-1$

(2) $r = 1$ のとき、$0$

(3) $|r| < 1$ のとき、$1$

(4) $r < -1$ のとき、極限は存在しない