$\tan \alpha = t$ のとき、$\cos^2 \alpha$, $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$ を $t$ で表す。

1. 問題の内容

$\tan \alpha = t$ のとき、$\cos^2 \alpha$, $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$ を $t$ で表す。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係を利用します。

$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

これより、

$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha}$

$\tan \alpha = t$ より、

$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + t^2}$

次に、$\sin 2\alpha$ を求めます。

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \tan \alpha \cos^2 \alpha$

$\sin 2\alpha = 2 \tan \alpha \cos^2 \alpha = 2t \cdot \frac{1}{1 + t^2} = \frac{2t}{1 + t^2}$

最後に、$\cos 2\alpha$ を求めます。

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha (1 - \tan^2 \alpha)$

$\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$

3. 最終的な答え

$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + t^2}$

$\sin 2\alpha = \frac{2t}{1 + t^2}$

$\cos 2\alpha = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$