媒介変数表示された曲線 $x = \cos\theta(1+\cos\theta)$, $y = \sin\theta(1-\cos\theta)$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$)について、$\int_0^2 y \, dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線 $x = \cos\theta(1+\cos\theta)$, $y = \sin\theta(1-\cos\theta)$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$)について、$\int_0^2 y \, dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$dx$ を $d\theta$ で表します。

$x = \cos\theta(1+\cos\theta) = \cos\theta + \cos^2\theta$ なので、

$\frac{dx}{d\theta} = -\sin\theta - 2\cos\theta\sin\theta = -\sin\theta - \sin(2\theta)$

したがって、$dx = (-\sin\theta - \sin(2\theta)) \, d\theta$

次に、$x$ の積分範囲に対応する $\theta$ の積分範囲を求めます。

$x=0$ のとき、$\cos\theta(1+\cos\theta)=0$より、$\cos\theta = 0$。よって $\theta = \frac{\pi}{2}$

$x=2$ のとき、$\cos\theta(1+\cos\theta)=2$。この方程式を解くと$\cos^2 \theta + \cos \theta - 2 = 0$ となり、$(\cos\theta - 1)(\cos\theta+2) = 0$。

$\cos \theta = 1$ または $\cos \theta = -2$ となる。$\cos \theta = -2$ はありえないので、$\cos \theta = 1$ つまり $\theta=0$。

したがって、積分範囲は $\theta = \frac{\pi}{2}$ から $\theta = 0$ になります。積分範囲に注意して、積分を計算します。

$\int_0^2 y \, dx = \int_{\pi/2}^0 \sin\theta(1-\cos\theta)(-\sin\theta - \sin(2\theta)) \, d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} \sin\theta(1-\cos\theta)(\sin\theta + 2\sin\theta\cos\theta) \, d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} (\sin^2\theta - \sin^2\theta\cos\theta + 2\sin^2\theta\cos\theta - 2\sin\theta\cos^2\theta) \, d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} (\sin^2\theta + \sin^2\theta\cos\theta - 2\sin\theta\cos^2\theta) \, d\theta$

$\int_0^{\pi/2} \sin^2\theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \frac{1-\cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \left[\frac{\theta}{2} - \frac{\sin(2\theta)}{4}\right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}$

$\int_0^{\pi/2} \sin^2\theta\cos\theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} (\sin\theta)^2 d(\sin\theta) = \left[\frac{\sin^3\theta}{3}\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{3}$

$\int_0^{\pi/2} 2\sin\theta\cos^2\theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} -2\cos^2\theta d(\cos\theta) = \left[-\frac{2\cos^3\theta}{3}\right]_0^{\pi/2} = \frac{2}{3}$

よって、

$\int_0^2 y \, dx = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}$

これは選択肢にないです。計算間違いをしている可能性があります。

$dx = (-\sin\theta - \sin 2\theta) d\theta = (-\sin \theta - 2 \sin \theta \cos \theta) d\theta$

$\int_0^2 ydx = \int_{\pi/2}^0 (\sin \theta - \sin \theta \cos \theta) (-\sin \theta - 2 \sin \theta \cos \theta) d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} (\sin \theta - \sin \theta \cos \theta)(\sin \theta + 2 \sin \theta \cos \theta) d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} (\sin^2 \theta + 2\sin^2 \theta \cos \theta - \sin^2 \theta \cos \theta - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta ) d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} (\sin^2 \theta + \sin^2 \theta \cos \theta - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta ) d\theta$

$\int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta d\theta = \frac{\pi}{4}$

$\int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta \cos \theta d\theta = [\frac{1}{3} \sin^3 \theta]_0^{\pi/2} = \frac{1}{3}$

$\int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta \cos^2 \theta d\theta = \int_0^{\pi/2} (\sin \theta \cos \theta)^2 d\theta = \int_0^{\pi/2} (\frac{1}{2}\sin 2\theta)^2 d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{\pi/2} \sin^2 2\theta d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 4\theta}{2} d\theta = \frac{1}{8} [\theta - \frac{1}{4} \sin 4\theta]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{16}$

よって、$\frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} + \frac{\pi}{8}$