与えられた漸化式を変形して、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 数列 $\{b_n\}$ を $b_n = a_n + 2$ と定義し、漸化式 $a_{n+1} + 2 = \frac{1}{2}(a_n + 2)$ を $b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$ と変形します。 数列 $\{b_n\}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列となり、初項は $b_1 = a_1 + 2 = 1 + 2 = 3$ です。 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求め、そこから数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

1. 問題の内容

与えられた漸化式を変形して、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

数列 $\{b_n\}$ を $b_n = a_n + 2$ と定義し、漸化式 $a_{n+1} + 2 = \frac{1}{2}(a_n + 2)$ を $b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$ と変形します。

数列 $\{b_n\}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列となり、初項は $b_1 = a_1 + 2 = 1 + 2 = 3$ です。

数列 $\{b_n\}$ の一般項を求め、そこから数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1：数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = 3$、公比 $r = \frac{1}{2}$ の等比数列なので、一般項は

$b_n = b_1 r^{n-1} = 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

ステップ2：数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

$b_n = a_n + 2$ より、$a_n = b_n - 2$ であるから、

$a_n = 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - 2$

3. 最終的な答え

$a_n = 3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - 2$