与えられた条件を満たす2次関数を求めます。条件は以下の4つです。 (1) 頂点が$(1, -2)$で、点$(2, -3)$を通る。 (2) 頂点が$(-4, -1)$で、点$(-6, 7)$を通る。 (3) 軸が直線$x=2$で、2点$(4, 1)$, $(6, -5)$を通る。 (4) 軸が直線$x=-3$で、2点$(0, 9)$, $(-2, -7)$を通る。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求めます。条件は以下の4つです。

(1) 頂点が$(1, -2)$で、点$(2, -3)$を通る。

(2) 頂点が$(-4, -1)$で、点$(-6, 7)$を通る。

(3) 軸が直線$x=2$で、2点$(4, 1)$, $(6, -5)$を通る。

(4) 軸が直線$x=-3$で、2点$(0, 9)$, $(-2, -7)$を通る。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が$(1, -2)$なので、2次関数は$y = a(x-1)^2 - 2$と表せます。点$(2, -3)$を通るので、これを代入すると、$-3 = a(2-1)^2 - 2$となり、$a = -1$となります。したがって、$y = -(x-1)^2 - 2 = -(x^2 - 2x + 1) - 2 = -x^2 + 2x - 3$となります。

(2) 頂点が$(-4, -1)$なので、2次関数は$y = a(x+4)^2 - 1$と表せます。点$(-6, 7)$を通るので、これを代入すると、$7 = a(-6+4)^2 - 1$となり、$7 = 4a - 1$、$4a = 8$、$a = 2$となります。したがって、$y = 2(x+4)^2 - 1 = 2(x^2 + 8x + 16) - 1 = 2x^2 + 16x + 31$となります。

(3) 軸が$x=2$なので、2次関数は$y = a(x-2)^2 + q$と表せます。2点$(4, 1)$, $(6, -5)$を通るので、

$1 = a(4-2)^2 + q = 4a + q$

$-5 = a(6-2)^2 + q = 16a + q$

この連立方程式を解くと、

$1 = 4a + q$

$-5 = 16a + q$

下の式から上の式を引くと、

$-6 = 12a$

$a = -\frac{1}{2}$

$1 = 4(-\frac{1}{2}) + q$

$1 = -2 + q$

$q = 3$

したがって、$y = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 3 = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) + 3 = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$となります。

(4) 軸が$x=-3$なので、2次関数は$y = a(x+3)^2 + q$と表せます。2点$(0, 9)$, $(-2, -7)$を通るので、

$9 = a(0+3)^2 + q = 9a + q$

$-7 = a(-2+3)^2 + q = a + q$

この連立方程式を解くと、

$9 = 9a + q$

$-7 = a + q$

上の式から下の式を引くと、

$16 = 8a$

$a = 2$

$-7 = 2 + q$

$q = -9$

したがって、$y = 2(x+3)^2 - 9 = 2(x^2 + 6x + 9) - 9 = 2x^2 + 12x + 9$となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 2x - 3$

(2) $y = 2x^2 + 16x + 31$

(3) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$

(4) $y = 2x^2 + 12x + 9$