以下の定積分を計算します。 $\int_{1}^{2} (x \log x - (\log t + 1)x + t) dx$

1. 問題の内容

以下の定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} (x \log x - (\log t + 1)x + t) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を各項に分けます。

$\int_{1}^{2} x \log x dx - \int_{1}^{2} (\log t + 1)x dx + \int_{1}^{2} t dx$

ここで、$t$ は $x$ に依存しない定数であることに注意します。したがって、$\log t$ も定数です。

第1項：$\int_{1}^{2} x \log x dx$ を計算します。部分積分法を用います。

$u = \log x$, $dv = x dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}$

$\int_{1}^{2} x \log x dx = [\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}]_{1}^{2} = (\frac{4}{2} \log 2 - \frac{4}{4}) - (\frac{1}{2} \log 1 - \frac{1}{4}) = 2 \log 2 - 1 + \frac{1}{4} = 2 \log 2 - \frac{3}{4}$

第2項：$\int_{1}^{2} (\log t + 1)x dx = (\log t + 1) \int_{1}^{2} x dx = (\log t + 1) [\frac{x^2}{2}]_{1}^{2} = (\log t + 1) (\frac{4}{2} - \frac{1}{2}) = (\log t + 1) \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \log t + \frac{3}{2}$

第3項：$\int_{1}^{2} t dx = t \int_{1}^{2} dx = t [x]_{1}^{2} = t(2-1) = t$

したがって、元の積分は次のようになります。

$2 \log 2 - \frac{3}{4} - (\frac{3}{2} \log t + \frac{3}{2}) + t = 2 \log 2 - \frac{3}{4} - \frac{3}{2} \log t - \frac{3}{2} + t = 2 \log 2 - \frac{9}{4} - \frac{3}{2} \log t + t$

3. 最終的な答え

$t - \frac{3}{2} \log t + 2 \log 2 - \frac{9}{4}$

あるいは

$t - \frac{3}{2}\log{t} + \log{4} - \frac{9}{4}$