$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1} 2x}{x}$ を計算する。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1} 2x}{x}$ を計算する。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を使用します。

$\sin^{-1} 2x$ を微分すると、$\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$ となります。

$x$ を微分すると、1となります。

したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1} 2x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}}{1} = \lim_{x\to 0} \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

$x \to 0$のとき、 $1-4x^2 \to 1$ なので、$\sqrt{1-4x^2} \to 1$ となります。

したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} = \frac{2}{1} = 2$

別解として、$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x} = 1$ を利用する解法があります。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1} 2x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1} 2x}{2x} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$

3. 最終的な答え

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