$\lim_{x \to 0+} x^x$ の値を求めます。

解析学極限ロピタルの定理不定形指数関数対数関数
2025/6/29

1. 問題の内容

limx0+xx\lim_{x \to 0+} x^x の値を求めます。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 000^0 の形をしています。そこで、y=xxy = x^x とおき、両辺の自然対数を取ります。
lny=ln(xx)=xlnx\ln y = \ln(x^x) = x \ln x
次に、x0+x \to 0+ のときの xlnxx \ln x の極限を求めます。これは 0()0 \cdot (-\infty) の不定形なので、\frac{-\infty}{\infty} または 00\frac{0}{0} の形に変形してロピタルの定理を適用できるようにします。
xlnx=lnx1/xx \ln x = \frac{\ln x}{1/x}
ここで、limx0+lnx=\lim_{x \to 0+} \ln x = -\inftylimx0+1x=\lim_{x \to 0+} \frac{1}{x} = \infty であるため、これは \frac{-\infty}{\infty} の不定形です。ロピタルの定理を適用すると、
limx0+lnx1/x=limx0+1/x1/x2=limx0+(x)=0\lim_{x \to 0+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0+} (-x) = 0
したがって、limx0+xlnx=0\lim_{x \to 0+} x \ln x = 0 です。
limx0+lny=limx0+xlnx=0\lim_{x \to 0+} \ln y = \lim_{x \to 0+} x \ln x = 0
両辺の指数関数を取ると、
limx0+y=limx0+xx=e0=1\lim_{x \to 0+} y = \lim_{x \to 0+} x^x = e^0 = 1

3. 最終的な答え

limx0+xx=1\lim_{x \to 0+} x^x = 1

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