$\lim_{x \to 0+} x^x$ の値を求めます。解析学極限ロピタルの定理不定形指数関数対数関数2025/6/291. 問題の内容limx→0+xx\lim_{x \to 0+} x^xlimx→0+xx の値を求めます。2. 解き方の手順この極限は不定形 000^000 の形をしています。そこで、y=xxy = x^xy=xx とおき、両辺の自然対数を取ります。lny=ln(xx)=xlnx\ln y = \ln(x^x) = x \ln xlny=ln(xx)=xlnx次に、x→0+x \to 0+x→0+ のときの xlnxx \ln xxlnx の極限を求めます。これは 0⋅(−∞)0 \cdot (-\infty)0⋅(−∞) の不定形なので、−∞∞\frac{-\infty}{\infty}∞−∞ または 00\frac{0}{0}00 の形に変形してロピタルの定理を適用できるようにします。xlnx=lnx1/xx \ln x = \frac{\ln x}{1/x}xlnx=1/xlnxここで、limx→0+lnx=−∞\lim_{x \to 0+} \ln x = -\inftylimx→0+lnx=−∞ と limx→0+1x=∞\lim_{x \to 0+} \frac{1}{x} = \inftylimx→0+x1=∞ であるため、これは −∞∞\frac{-\infty}{\infty}∞−∞ の不定形です。ロピタルの定理を適用すると、limx→0+lnx1/x=limx→0+1/x−1/x2=limx→0+(−x)=0\lim_{x \to 0+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0+} (-x) = 0limx→0+1/xlnx=limx→0+−1/x21/x=limx→0+(−x)=0したがって、limx→0+xlnx=0\lim_{x \to 0+} x \ln x = 0limx→0+xlnx=0 です。limx→0+lny=limx→0+xlnx=0\lim_{x \to 0+} \ln y = \lim_{x \to 0+} x \ln x = 0limx→0+lny=limx→0+xlnx=0両辺の指数関数を取ると、limx→0+y=limx→0+xx=e0=1\lim_{x \to 0+} y = \lim_{x \to 0+} x^x = e^0 = 1limx→0+y=limx→0+xx=e0=13. 最終的な答えlimx→0+xx=1\lim_{x \to 0+} x^x = 1limx→0+xx=1