## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

次の関数 $f(x)$ を微分する問題です。

(1) $f(x) = \int_{0}^{x} \frac{t^2 - t + 1}{t^2 + t + 1} dt$

(2) $f(x) = \int_{\pi}^{2x} \frac{\sin t}{t} dt$

(3) $f(x) = \int_{x}^{x^2} \sqrt{1 + t^2} dt$

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2. 解き方の手順

微分積分学の基本定理を用います。すなわち、関数 $F(x)$ が連続で、$f(x) = \int_{a}^{x} F(t) dt$ のとき、$f'(x) = F(x)$ が成り立ちます。また、$u(x)$ を微分可能な関数とするとき、合成関数の微分により、

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{u(x)} F(t) dt = F(u(x)) u'(x)$

が成り立ちます。

(1) $f(x) = \int_{0}^{x} \frac{t^2 - t + 1}{t^2 + t + 1} dt$

被積分関数 $F(t) = \frac{t^2 - t + 1}{t^2 + t + 1}$ は連続なので、微分積分学の基本定理より、

$f'(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$

(2) $f(x) = \int_{\pi}^{2x} \frac{\sin t}{t} dt$

被積分関数 $F(t) = \frac{\sin t}{t}$ は連続なので、微分積分学の基本定理と合成関数の微分より、

$f'(x) = \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot (2x)' = \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2 = \frac{\sin(2x)}{x}$

(3) $f(x) = \int_{x}^{x^2} \sqrt{1 + t^2} dt$

$f(x) = \int_{x}^{x^2} \sqrt{1 + t^2} dt = \int_{0}^{x^2} \sqrt{1 + t^2} dt - \int_{0}^{x} \sqrt{1 + t^2} dt$

$f'(x) = \sqrt{1 + (x^2)^2} \cdot (x^2)' - \sqrt{1 + x^2} \cdot (x)' = \sqrt{1 + x^4} \cdot 2x - \sqrt{1 + x^2} \cdot 1$

$f'(x) = 2x\sqrt{1 + x^4} - \sqrt{1 + x^2}$

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3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$

(2) $f'(x) = \frac{\sin(2x)}{x}$

(3) $f'(x) = 2x\sqrt{1 + x^4} - \sqrt{1 + x^2}$