与えられた3つの極限値を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

解析学極限ロピタルの定理マクローリン展開三角関数対数関数
2025/7/10

1. 問題の内容

与えられた3つの極限値を計算する問題です。
(1) limx0sinxx\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
(2) limx0log(1+x)x\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x}
(3) limx0xsinxx3\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}

2. 解き方の手順

(1) limx0sinxx\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} は、基本的な極限として知られています。
limx0sinxx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
(2) limx0log(1+x)x\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} は、ロピタルの定理を使うか、もしくは log(1+x)\log(1+x) のマクローリン展開を使うことで計算できます。ここではマクローリン展開を使います。
log(1+x)=xx22+x33x44+\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots
よって、
log(1+x)x=1x2+x23x34+\frac{\log(1+x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \dots
x0x \to 0 のとき、
limx0log(1+x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1
あるいは、ロピタルの定理を使うと、
limx0log(1+x)x=limx011+x1=limx011+x=1\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x} = 1
(3) limx0xsinxx3\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} は、ロピタルの定理を繰り返し使うことで計算できます。あるいは、sinx\sin x のマクローリン展開を使うこともできます。ここではロピタルの定理を使います。
limx0xsinxx3\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} (不定形 00\frac{0}{0})
ロピタルの定理より、
limx01cosx3x2\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} (不定形 00\frac{0}{0})
ロピタルの定理より、
limx0sinx6x\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} (不定形 00\frac{0}{0})
ロピタルの定理より、
limx0cosx6=16\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}
あるいは、sinx\sin x のマクローリン展開を使うと、
sinx=xx33!+x55!\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots
よって、
xsinx=x36x5120+x - \sin x = \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \dots
xsinxx3=16x2120+\frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6} - \frac{x^2}{120} + \dots
x0x \to 0 のとき、
limx0xsinxx3=16\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6}

3. 最終的な答え

(1) limx0sinxx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
(2) limx0log(1+x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1
(3) limx0xsinxx3=16\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6}

「解析学」の関連問題

(1) 曲線 $y = \cosh x$ の $0 \le x \le 2$ の範囲における長さを求めます。 (2) 媒介変数 $\theta$ $(0 \le \theta \le 2\pi)$ で...

曲線の長さ積分双曲線関数媒介変数表示
2025/7/15

問題は、関数 $y = \cos^2 x$ のグラフに関する記述の正誤を問うものです。ただし、画像が不鮮明なため、正確な問題文は判断できません。ここでは、$y = \cos^2 x$ のグラフの概形や...

三角関数グラフ周期関数偶関数
2025/7/15

関数 $f(x) = \frac{x^2}{4 + x^2}$ の最大値と最小値を求める問題です。

関数の最大値関数の最小値極限微分
2025/7/15

関数 $f(x) = \frac{px + q}{x^2 + 3x}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ が $x = -\frac{1}{3}$ で極値 $-9$ をとるとき、...

関数の極値微分分数関数変曲点
2025/7/15

次の定積分の値を計算します。 $\int_{-2}^{0} (-2x^2 - 3x + 2) dx + \int_{0}^{2} (-2x^2 - 3x + 2) dx$

定積分積分多項式
2025/7/15

次の3つの関数 $f(x)$ について、$n$ 次導関数 ($n \geq 1$) を求める問題です。 a) $f(x) = \frac{1}{1+x}$ b) $f(x) = \log(1-x)$ ...

導関数微分数学的帰納法関数の微分
2025/7/15

関数 $f(x) = \log(1 - x)$ の $n$ 次導関数 ($n \ge 1$) を求める。ここで $\log$ は自然対数とする。

導関数自然対数数学的帰納法微分
2025/7/15

以下の関数の$n$次導関数 ($n \geq 1$)を求めよ。 a) $f(x) = \frac{1}{1+x}$ b) $f(x) = \log(1-x)$ c) $f(x) = (1+x)^{\f...

導関数微分n次導関数関数の微分階乗
2025/7/15

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲において、方程式 $\sqrt{2} \sin \theta = k$ の解の個数が1個となるときの、実数 $k$ の値の範囲を...

三角関数方程式解の個数sin範囲
2025/7/15

関数 $f(x, y) = \arctan(\frac{y}{x})$ について、二階偏導関数 $f_{xx}(x, y)$, $f_{xy}(x, y)$, $f_{yy}(x, y)$ を求めよ。

偏微分二階偏導関数アークタンジェント
2025/7/15