領域 $D_2 = \{(x,y) | \pi \le x^2+y^2 \le 2\pi, x \ge 0, y \le 0\}$ 上で、$\iint_{D_2} \sin^2(x^2+y^2) dxdy$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D_2 = \{(x,y) | \pi \le x^2+y^2 \le 2\pi, x \ge 0, y \le 0\}$ 上で、$\iint_{D_2} \sin^2(x^2+y^2) dxdy$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、領域 $D_2$ を極座標で表します。

$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ とすると、$x^2+y^2=r^2$ なので、$\pi \le r^2 \le 2\pi$ より $\sqrt{\pi} \le r \le \sqrt{2\pi}$ となります。

また、$x \ge 0$ および $y \le 0$ より、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le 0$ となります。したがって、$D_2 = \{(r,\theta) | \sqrt{\pi} \le r \le \sqrt{2\pi}, -\frac{\pi}{2} \le \theta \le 0 \}$ となります。

二重積分を極座標で書き換えると、

$\iint_{D_2} \sin^2(x^2+y^2) dxdy = \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} \sin^2(r^2) r dr d\theta$

となります。

ここで、$\sin^2(r^2) = \frac{1 - \cos(2r^2)}{2}$ を用いると、

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} \sin^2(r^2) r dr d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} \frac{1 - \cos(2r^2)}{2} r dr d\theta = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} (r - r\cos(2r^2)) dr d\theta$

となります。

$I = \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} (r - r\cos(2r^2)) dr = [\frac{r^2}{2} - \frac{1}{4}\sin(2r^2)]_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} = (\frac{2\pi}{2} - \frac{1}{4}\sin(4\pi)) - (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\sin(2\pi)) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

したがって、

$\frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} (r - r\cos(2r^2)) dr d\theta = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \frac{\pi}{2} d\theta = \frac{\pi}{4} \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 d\theta = \frac{\pi}{4} [\theta]_{-\frac{\pi}{2}}^0 = \frac{\pi}{4} (0 - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi^2}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi^2}{8}$