アステロイド $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ ($0 \leq t \leq 2\pi$) で囲まれた図形の面積を求める。ここで、$a$は正の定数である。

1. 問題の内容

アステロイド $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ ($0 \leq t \leq 2\pi$) で囲まれた図形の面積を求める。ここで、$a$は正の定数である。

2. 解き方の手順

アステロイドの面積は、第一象限の面積を4倍すればよい。

第一象限では、$0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ である。

面積$S$は、積分の公式より

$S = 4 \int_{0}^{a} y dx$ で計算できる。

まず、$dx$ を計算する。

$x = a\cos^3 t$ より、

$\frac{dx}{dt} = -3a\cos^2 t \sin t$

したがって、$dx = -3a\cos^2 t \sin t dt$ となる。

次に、積分範囲を $t$ について変更する。

$x = 0$ のとき、$a\cos^3 t = 0$ より、$\cos t = 0$ なので、$t = \frac{\pi}{2}$

$x = a$ のとき、$a\cos^3 t = a$ より、$\cos t = 1$ なので、$t = 0$

したがって、積分範囲は $\frac{\pi}{2}$ から $0$ になる。

よって、面積$S$は

$S = 4 \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} a\sin^3 t (-3a\cos^2 t \sin t) dt$

$S = 12a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \cos^2 t dt$

ここで、$\sin^4 t \cos^2 t = (\sin^2 t)^2 \cos^2 t = (1-\cos^2 t)^2 \cos^2 t$ と変形する。

ウォリスの積分公式 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^m t \cos^n t dt = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2})\Gamma(\frac{n+1}{2})}{2\Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$ を用いる。

$\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ を用いる。

$S = 12a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \cos^2 t dt = 12a^2 \frac{\Gamma(\frac{5}{2})\Gamma(\frac{3}{2})}{2\Gamma(\frac{8}{2})} = 12a^2 \frac{\frac{3}{2}\Gamma(\frac{3}{2})\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})}{2 \cdot 3!}= 12a^2 \frac{\frac{3}{2}\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})}{12} = a^2 \frac{3}{8} (\Gamma(\frac{1}{2}))^2 = a^2 \frac{3}{8} \pi = \frac{3}{8}\pi a^2$

別の計算方法として、部分積分を行う方法がある。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{8}\pi a^2$