$\tan^{-1}(\tan(\frac{2\pi}{3}))$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\tan^{-1}(\tan(\frac{2\pi}{3}))$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\tan^{-1}(x)$ は、$\arctan(x)$ とも表記され、逆正接関数を表します。この関数は、定義域が実数全体、値域が $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ となっています。

まず、$\tan(\frac{2\pi}{3})$ の値を計算します。$\frac{2\pi}{3}$ は第2象限の角であり、$\tan(\frac{2\pi}{3})$ は負の値になります。$\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ であるから、

$\tan(\frac{2\pi}{3}) = \tan(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\tan(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$

したがって、

$\tan^{-1}(\tan(\frac{2\pi}{3})) = \tan^{-1}(-\sqrt{3})$

$\tan^{-1}(-\sqrt{3})$ は、タンジェントが$-\sqrt{3}$ となる角で、値域が $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ であるものを探します。

$\tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ であり、$-\frac{\pi}{3}$ は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ の範囲内にあるため、

$\tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\pi}{3}$