(c) の問題は、極限 $\lim_{t\to\infty} \frac{mv_0 \cos\theta}{\alpha}\{1 - \exp(-\frac{\alpha}{m}t)\}$ を計算する問題です。ただし、$m, \alpha > 0$です。 (a) の問題は、不定積分 $\int Ve^{jwt} dt$ を計算する問題です。 (b) の問題は、不定積分 $\frac{V}{L} \int \sin(\omega t + \theta) dt$ を計算する問題です。

回答を以下に示します。

1. 問題の内容

(c) の問題は、極限 $\lim_{t\to\infty} \frac{mv_0 \cos\theta}{\alpha}\{1 - \exp(-\frac{\alpha}{m}t)\}$ を計算する問題です。ただし、$m, \alpha > 0$です。

(a) の問題は、不定積分 $\int Ve^{jwt} dt$ を計算する問題です。

(b) の問題は、不定積分 $\frac{V}{L} \int \sin(\omega t + \theta) dt$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(c) の問題について：

$t \to \infty$ のとき、$-\frac{\alpha}{m}t \to -\infty$ であるので、$\exp(-\frac{\alpha}{m}t) \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{t\to\infty} \frac{mv_0 \cos\theta}{\alpha}\{1 - \exp(-\frac{\alpha}{m}t)\} = \frac{mv_0 \cos\theta}{\alpha}\{1 - 0\} = \frac{mv_0 \cos\theta}{\alpha}$ となります。

(a) の問題について：

$V$は定数なので、積分の外に出せます。$\int Ve^{jwt} dt = V \int e^{jwt} dt$ となります。

$u = jwt$ と置くと、$\frac{du}{dt} = jw$ より $dt = \frac{du}{jw}$ となります。

したがって、$V \int e^{jwt} dt = V \int e^{u} \frac{du}{jw} = \frac{V}{jw} \int e^{u} du = \frac{V}{jw} e^{u} + C = \frac{V}{jw} e^{jwt} + C$ となります。ここで、$C$は積分定数です。

(b) の問題について：

$\frac{V}{L}$は定数なので、積分の外に出せます。$\frac{V}{L} \int \sin(\omega t + \theta) dt$ を計算します。

$u = \omega t + \theta$ と置くと、$\frac{du}{dt} = \omega$ より $dt = \frac{du}{\omega}$ となります。

したがって、$\frac{V}{L} \int \sin(\omega t + \theta) dt = \frac{V}{L} \int \sin(u) \frac{du}{\omega} = \frac{V}{L\omega} \int \sin(u) du = \frac{V}{L\omega} (-\cos(u)) + C = -\frac{V}{L\omega} \cos(\omega t + \theta) + C$ となります。ここで、$C$は積分定数です。

3. 最終的な答え

(c) の答え：

$\frac{mv_0 \cos\theta}{\alpha}$

(a) の答え：

$\frac{V}{jw} e^{jwt} + C$

(b) の答え：

$-\frac{V}{L\omega} \cos(\omega t + \theta) + C$