放物線 $y = f(x) = x^2 - (p+4)x + 4p$ と、点A(0, 4p), B(4, 0) が与えられている。 (1) p=2のとき、点Aにおける曲線Cの接線lの方程式と、C, l, x軸で囲まれた図形の面積を求める。 (2) 点Bにおける曲線Cの接線mの方程式と、C, m, y軸で囲まれた図形の面積 Sm のpによる変化を調べる。 (3) Cとx軸とy軸で囲まれた図形の面積をS、Cとx軸で囲まれた図形の面積をTとする。 (i) 0<p<4のときとp>4のとき、$\int_0^4 f(x) dx$ の値を求める。 (ii) SとTが等しいときのpの値を求める。 (iii) 直線ABをy=g(x)とし、Cと直線ABで囲まれた図形の面積をUとするとき、$\int_0^4 g(x) dx$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = f(x) = x^2 - (p+4)x + 4p$ と、点A(0, 4p), B(4, 0) が与えられている。

(1) p=2のとき、点Aにおける曲線Cの接線lの方程式と、C, l, x軸で囲まれた図形の面積を求める。

(2) 点Bにおける曲線Cの接線mの方程式と、C, m, y軸で囲まれた図形の面積 Sm のpによる変化を調べる。

(3) Cとx軸とy軸で囲まれた図形の面積をS、Cとx軸で囲まれた図形の面積をTとする。

(i) 0<p<4のときとp>4のとき、$\int_0^4 f(x) dx$ の値を求める。

(ii) SとTが等しいときのpの値を求める。

(iii) 直線ABをy=g(x)とし、Cと直線ABで囲まれた図形の面積をUとするとき、$\int_0^4 g(x) dx$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) p=2のとき、$f(x) = x^2 - 6x + 8$

$f'(x) = 2x - 6$

点A(0, 8)における接線lの方程式は、$y = f'(0)(x-0) + 8 = -6x + 8$

lとx軸の交点は、$-6x + 8 = 0$ より、$x = \frac{4}{3}$

Cとlとx軸で囲まれた図形の面積は、

$\int_0^{\frac{4}{3}} (-6x+8 - (x^2 - 6x + 8)) dx = \int_0^{\frac{4}{3}} (-x^2) dx = [-\frac{1}{3}x^3]_0^{\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3} (\frac{4}{3})^3 = -\frac{64}{81}$

面積なので、絶対値を取り $\frac{64}{81}$

(2) $f'(x) = 2x - (p+4)$

点B(4, 0)における接線mの方程式は、$y = f'(4)(x-4) + 0 = (8 - p - 4)(x-4) = (4-p)(x-4) = (4-p)x - 16 + 4p$

Cとmとy軸で囲まれた図形の面積 $S_m$ を求める。

$S_m$ は$0<p<1$の範囲でどうかを調べる。

(3)

(i) $\int_0^4 f(x) dx = \int_0^4 (x^2 - (p+4)x + 4p) dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}(p+4)x^2 + 4px]_0^4 = \frac{64}{3} - 8(p+4) + 16p = \frac{64}{3} - 8p - 32 + 16p = 8p - \frac{32}{3}$

$0 < p < 4$のとき、$S = 8p - \frac{32}{3}$

$p > 4$のとき、$T = \int_0^4 (x^2 - (p+4)x + 4p)dx = 8p - \frac{32}{3}$

積分区間が同じなので値も同じ。

(ii) SとTが等しいとき $8p - \frac{32}{3} = 0$ より $p = \frac{4}{3}$

(iii) 直線ABの方程式は、$y = g(x) = -px + 4p$

$\int_0^4 g(x)dx = \int_0^4 (-px + 4p)dx = [-\frac{1}{2}px^2 + 4px]_0^4 = -8p + 16p = 8p$

3. 最終的な答え

(1) アイ: -6, ウ: 8, エオ: 64/81

(2) カ: 4, キ: 16, クケ: 4, コ: 0

(3) サ: S, シ: S, ス: 4, セ: 3, ソ: S+T-U