次の不定積分を求める問題です。 (1) $\int (\sin x - 5\cos x) dx$ (2) $\int (\tan^2 x - 1) dx$ (3) $\int \frac{\tan^2 x + 2}{\sin^2 x} dx$ (4) $\int \frac{1}{\tan^2 x} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求める問題です。

(1) $\int (\sin x - 5\cos x) dx$

(2) $\int (\tan^2 x - 1) dx$

(3) $\int \frac{\tan^2 x + 2}{\sin^2 x} dx$

(4) $\int \frac{1}{\tan^2 x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (\sin x - 5\cos x) dx$

$\sin x$ の不定積分は $-\cos x$ であり、$\cos x$ の不定積分は $\sin x$ です。したがって、

$$\int (\sin x - 5\cos x) dx = -\cos x - 5\sin x + C$$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。

(2) $\int (\tan^2 x - 1) dx$

三角関数の公式 $\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$ と $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ および $\sec^2 x = \tan^2 x + 1$ を用いると、$\tan^2 x - 1 = \sec^2 x - 2$ となります。したがって、

$$\int (\tan^2 x - 1) dx = \int (\sec^2 x - 2) dx = \tan x - 2x + C$$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。

(3) $\int \frac{\tan^2 x + 2}{\sin^2 x} dx$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ より、

$$\int \frac{\tan^2 x + 2}{\sin^2 x} dx = \int \frac{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 2}{\sin^2 x} dx = \int (\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{2}{\sin^2 x}) dx = \int (\sec^2 x + 2\csc^2 x) dx$$

$\sec^2 x$ の不定積分は $\tan x$ であり、$\csc^2 x$ の不定積分は $-\cot x$ です。したがって、

$$\int (\sec^2 x + 2\csc^2 x) dx = \tan x - 2\cot x + C$$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。

(4) $\int \frac{1}{\tan^2 x} dx$

$\frac{1}{\tan^2 x} = \cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$ です。

$\cot^2 x + 1 = \csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ より $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$ なので、

$$\int \frac{1}{\tan^2 x} dx = \int \cot^2 x dx = \int (\csc^2 x - 1) dx = -\cot x - x + C$$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

(1) $-\cos x - 5\sin x + C$

(2) $\tan x - 2x + C$

(3) $\tan x - 2\cot x + C$

(4) $-\cot x - x + C$