与えられた関数の微分を求める問題です。具体的には以下の関数について微分を求めます。 (1) $y = \arcsin{\frac{x}{3}}$ (2) $y = (\arcsin{x} + 2)^3$ (3) $y = e^{\arctan{x}}$ (4) $y = \log(\arctan{x})$ (5) $y = \frac{1}{\arctan{x} + x}$ (6) $y = \arcsin{\sqrt{x}}$ (7) $y = \arctan{e^x}$ (8) $y = \sqrt{\arctan{x} - 1}$

1. 問題の内容

与えられた関数の微分を求める問題です。具体的には以下の関数について微分を求めます。

(1) $y = \arcsin{\frac{x}{3}}$

(2) $y = (\arcsin{x} + 2)^3$

(3) $y = e^{\arctan{x}}$

(4) $y = \log(\arctan{x})$

(5) $y = \frac{1}{\arctan{x} + x}$

(6) $y = \arcsin{\sqrt{x}}$

(7) $y = \arctan{e^x}$

(8) $y = \sqrt{\arctan{x} - 1}$

2. 解き方の手順

各関数の微分を公式を用いて計算します。

(1) $y = \arcsin{\frac{x}{3}}$ の微分

$\frac{d}{dx} \arcsin{x} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ の公式と合成関数の微分法を利用します。

$\frac{d}{dx} \arcsin{\frac{x}{3}} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{3})^2}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{\sqrt{\frac{9-x^2}{9}}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{\sqrt{9-x^2}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$

(2) $y = (\arcsin{x} + 2)^3$ の微分

$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$ の公式と合成関数の微分法を利用します。

$\frac{d}{dx} (\arcsin{x} + 2)^3 = 3(\arcsin{x} + 2)^2 \cdot \frac{d}{dx} (\arcsin{x} + 2) = 3(\arcsin{x} + 2)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(3) $y = e^{\arctan{x}}$ の微分

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$ の公式と合成関数の微分法を利用します。

$\frac{d}{dx} e^{\arctan{x}} = e^{\arctan{x}} \cdot \frac{d}{dx} (\arctan{x}) = e^{\arctan{x}} \cdot \frac{1}{1+x^2}$

(4) $y = \log(\arctan{x})$ の微分

$\frac{d}{dx} \log{x} = \frac{1}{x}$ の公式と合成関数の微分法を利用します。

$\frac{d}{dx} \log(\arctan{x}) = \frac{1}{\arctan{x}} \cdot \frac{d}{dx} (\arctan{x}) = \frac{1}{\arctan{x}} \cdot \frac{1}{1+x^2}$

(5) $y = \frac{1}{\arctan{x} + x}$ の微分

$y = (\arctan{x} + x)^{-1}$と見なして、合成関数の微分法を利用します。

$\frac{d}{dx} (\arctan{x} + x)^{-1} = -1 (\arctan{x} + x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx} (\arctan{x} + x) = -(\arctan{x} + x)^{-2} \cdot (\frac{1}{1+x^2} + 1) = -\frac{1}{\left(\arctan{x} + x\right)^{2}} \cdot \frac{1 + 1 + x^{2}}{1+x^2} = - \frac{2+x^2}{(1+x^2)(\arctan x + x)^2}$

(6) $y = \arcsin{\sqrt{x}}$ の微分

$\frac{d}{dx} \arcsin{x} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ の公式と合成関数の微分法を利用します。

$\frac{d}{dx} \arcsin{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt{x}) = \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}} = \frac{1}{2\sqrt{x-x^2}}$

(7) $y = \arctan{e^x}$ の微分

$\frac{d}{dx} \arctan{x} = \frac{1}{1+x^2}$ の公式と合成関数の微分法を利用します。

$\frac{d}{dx} \arctan{e^x} = \frac{1}{1+(e^x)^2} \cdot \frac{d}{dx} (e^x) = \frac{1}{1+e^{2x}} \cdot e^x = \frac{e^x}{1+e^{2x}}$

(8) $y = \sqrt{\arctan{x} - 1}$ の微分

$y = (\arctan{x} - 1)^{\frac{1}{2}}$と見なして、合成関数の微分法を利用します。

$\frac{d}{dx} (\arctan{x} - 1)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (\arctan{x} - 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx} (\arctan{x} - 1) = \frac{1}{2\sqrt{\arctan{x} - 1}} \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\arctan{x} - 1}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$

(2) $y' = \frac{3(\arcsin{x} + 2)^2}{\sqrt{1-x^2}}$

(3) $y' = \frac{e^{\arctan{x}}}{1+x^2}$

(4) $y' = \frac{1}{(1+x^2)\arctan{x}}$

(5) $y' = - \frac{2+x^2}{(1+x^2)(\arctan x + x)^2}$

(6) $y' = \frac{1}{2\sqrt{x-x^2}}$

(7) $y' = \frac{e^x}{1+e^{2x}}$

(8) $y' = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\arctan{x} - 1}}$