(1) 定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin t dt$ と $\int_{0}^{\pi} t \sin t dt$ を計算する。 (2) $f(x) = x + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(t) \sin t dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin t dt$ と $\int_{0}^{\pi} t \sin t dt$ を計算する。

(2) $f(x) = x + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(t) \sin t dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\int_{0}^{\pi} \sin t dt$ を計算します。

$\int_{0}^{\pi} \sin t dt = [-\cos t]_{0}^{\pi} = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

次に、$\int_{0}^{\pi} t \sin t dt$ を計算します。これは部分積分を用いて計算します。

$u = t$, $dv = \sin t dt$ とすると、$du = dt$, $v = -\cos t$ となります。

$\int_{0}^{\pi} t \sin t dt = [-t \cos t]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (-\cos t) dt = [-t \cos t]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos t dt$

$= [-\pi \cos \pi - (-0 \cos 0)] + [\sin t]_{0}^{\pi} = [-\pi (-1) - 0] + [\sin \pi - \sin 0] = \pi + (0 - 0) = \pi$

(2)

$f(x) = x + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(t) \sin t dt$ の右辺の定積分 $\int_{0}^{\pi} f(t) \sin t dt$ は定数なので、これを $A$ とおきます。

$A = \int_{0}^{\pi} f(t) \sin t dt$

すると、$f(x) = x + \frac{1}{\pi}A$ となり、$f(t) = t + \frac{1}{\pi}A$ と書けます。

これを $A$ の式に代入すると、

$A = \int_{0}^{\pi} (t + \frac{1}{\pi}A) \sin t dt = \int_{0}^{\pi} t \sin t dt + \int_{0}^{\pi} \frac{1}{\pi}A \sin t dt$

$A = \int_{0}^{\pi} t \sin t dt + \frac{A}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin t dt$

(1)の結果より、$\int_{0}^{\pi} t \sin t dt = \pi$ であり、$\int_{0}^{\pi} \sin t dt = 2$ なので、

$A = \pi + \frac{A}{\pi} \cdot 2 = \pi + \frac{2A}{\pi}$

$A - \frac{2A}{\pi} = \pi$

$A(1 - \frac{2}{\pi}) = \pi$

$A(\frac{\pi - 2}{\pi}) = \pi$

$A = \frac{\pi^2}{\pi - 2}$

よって、$f(x) = x + \frac{1}{\pi}A = x + \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{\pi - 2} = x + \frac{\pi}{\pi - 2}$

3. 最終的な答え

(1)

$\int_{0}^{\pi} \sin t dt = 2$

$\int_{0}^{\pi} t \sin t dt = \pi$

(2)

$f(x) = x + \frac{\pi}{\pi - 2}$