次の不定積分を計算します。 $\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + x + 1}} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + x + 1}} dx$

2. 解き方の手順

まず、平方完成を用いて根号の中を整理します。

$x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

次に、置換積分を行います。$u = x + \frac{1}{2}$ とおくと、$x = u - \frac{1}{2}$、$dx = du$ となります。

したがって、

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + x + 1}} dx = \int \frac{u - \frac{1}{2}}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du = \int \frac{u}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du$

第一項 $\int \frac{u}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du$ について、さらに置換積分を行います。$v = u^2 + \frac{3}{4}$ とおくと、$dv = 2u du$ となります。

$\int \frac{u}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{v}} dv = \frac{1}{2} \int v^{-\frac{1}{2}} dv = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{v} + C_1 = \sqrt{v} + C_1 = \sqrt{u^2 + \frac{3}{4}} + C_1 = \sqrt{(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} + C_1 = \sqrt{x^2 + x + 1} + C_1$

第二項 $\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du$ について、公式 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \sinh^{-1} (\frac{x}{a}) + C = \ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C$ を用います。ここで、$a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du = \ln(u + \sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}) + C_2 = \ln(x + \frac{1}{2} + \sqrt{(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}) + C_2 = \ln(x + \frac{1}{2} + \sqrt{x^2 + x + 1}) + C_2$

したがって、

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + x + 1}} dx = \sqrt{x^2 + x + 1} - \frac{1}{2} \ln(x + \frac{1}{2} + \sqrt{x^2 + x + 1}) + C$

3. 最終的な答え

$\sqrt{x^2 + x + 1} - \frac{1}{2} \ln(x + \frac{1}{2} + \sqrt{x^2 + x + 1}) + C$