関数 $f(x)$ が以下のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} ax^2 & (x < 1) \\ 2x + b & (x \ge 1) \end{cases}$ この関数が $x=1$ で微分可能であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が以下のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases}

ax^2 & (x < 1) \\

2x + b & (x \ge 1)

\end{cases}$

この関数が $x=1$ で微分可能であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

関数が $x=1$ で微分可能であるためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

* $x=1$ で連続であること

* $x=1$ で微分係数が一致すること

まず、$x=1$ で連続であるための条件を考えます。連続であるためには、左からの極限と右からの極限が一致する必要があります。

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} ax^2 = a$

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x + b) = 2 + b$

したがって、$a = 2 + b$ が成り立ちます。

次に、$x=1$ で微分係数が一致するための条件を考えます。$f(x)$ を微分すると、

$f'(x) = \begin{cases}

2ax & (x < 1) \\

2 & (x > 1)

\end{cases}$

左からの微分係数は、

$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^-} 2ax = 2a$

右からの微分係数は、

$\lim_{x \to 1^+} f'(x) = 2$

したがって、$2a = 2$ が成り立ち、$a = 1$ が得られます。

$a = 1$ を $a = 2 + b$ に代入すると、$1 = 2 + b$ となり、$b = -1$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = -1$