次の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin^{-1}x}{x^3}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + x \cos x}{x}$

1. 問題の内容

次の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin^{-1}x}{x^3}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + x \cos x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin^{-1}x}{x^3}$ を求めます。

$\sin^{-1}x$ のマクローリン展開は

$\sin^{-1}x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \cdots$ です。

よって、

$x - \sin^{-1}x = -\frac{1}{6}x^3 - \frac{3}{40}x^5 - \cdots$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin^{-1}x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{6}x^3 - \frac{3}{40}x^5 - \cdots}{x^3} = \lim_{x \to 0} (-\frac{1}{6} - \frac{3}{40}x^2 - \cdots) = -\frac{1}{6}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x}$ を求めます。

$a^x = e^{x\ln a}$ および $b^x = e^{x\ln b}$ と書けます。

$e^x$ のマクローリン展開は $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots$ です。

よって、$a^x = 1 + x\ln a + \frac{(x\ln a)^2}{2!} + \cdots$ および $b^x = 1 + x\ln b + \frac{(x\ln b)^2}{2!} + \cdots$ です。

したがって、$a^x - b^x = (1 + x\ln a + \cdots) - (1 + x\ln b + \cdots) = x(\ln a - \ln b) + O(x^2)$.

$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(\ln a - \ln b) + O(x^2)}{x} = \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + x \cos x}{x}$ を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} + \lim_{x \to 0} \cos x$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$

よって、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + x \cos x}{x} = 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{6}$

(2) $\ln \frac{a}{b}$

(3) $2$