与えられた二つの関数をx軸周りに回転させてできる回転体の表面積を求める問題です。 (1) 放物線 $y = \sqrt{x}$ ($0 \le x \le 1$) をx軸のまわりに回転させた回転体の表面積 (2) 曲線 $y = \cosh x$ ($0 \le x \le 1$) をx軸のまわりに回転させた回転体の表面積

1. 問題の内容

与えられた二つの関数をx軸周りに回転させてできる回転体の表面積を求める問題です。

(1) 放物線 $y = \sqrt{x}$ ($0 \le x \le 1$) をx軸のまわりに回転させた回転体の表面積

(2) 曲線 $y = \cosh x$ ($0 \le x \le 1$) をx軸のまわりに回転させた回転体の表面積

2. 解き方の手順

回転体の表面積の公式は以下の通りです。

$S = 2\pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

(1) $y = \sqrt{x}$ の場合

まず、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{1}{4x}$

したがって、

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + \frac{1}{4x} = \frac{4x + 1}{4x}$

$S = 2\pi \int_{0}^{1} \sqrt{x} \sqrt{\frac{4x + 1}{4x}} dx = 2\pi \int_{0}^{1} \sqrt{x} \frac{\sqrt{4x + 1}}{2\sqrt{x}} dx$

$S = \pi \int_{0}^{1} \sqrt{4x + 1} dx$

$u = 4x + 1$ と置換すると、$du = 4dx$ より $dx = \frac{1}{4}du$。積分範囲は $x=0$ のとき $u=1$, $x=1$ のとき $u=5$ となります。

$S = \pi \int_{1}^{5} \sqrt{u} \frac{1}{4} du = \frac{\pi}{4} \int_{1}^{5} u^{1/2} du = \frac{\pi}{4} [\frac{2}{3} u^{3/2}]_{1}^{5} = \frac{\pi}{6} [u^{3/2}]_{1}^{5}$

$S = \frac{\pi}{6} (5^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} - 1)$

(2) $y = \cosh x$ の場合

$\frac{dy}{dx} = \sinh x$

$(\frac{dy}{dx})^2 = \sinh^2 x$

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x$

$S = 2\pi \int_{0}^{1} \cosh x \sqrt{\cosh^2 x} dx = 2\pi \int_{0}^{1} \cosh^2 x dx$

$\cosh^2 x = \frac{1 + \cosh 2x}{2}$ を用いて積分します。

$S = 2\pi \int_{0}^{1} \frac{1 + \cosh 2x}{2} dx = \pi \int_{0}^{1} (1 + \cosh 2x) dx = \pi [x + \frac{1}{2} \sinh 2x]_{0}^{1}$

$S = \pi (1 + \frac{1}{2} \sinh 2 - 0 - 0) = \pi (1 + \frac{1}{2} \sinh 2)$

$S = \pi (1 + \frac{e^2 - e^{-2}}{4})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} - 1)$

(2) $\pi (1 + \frac{\sinh 2}{2}) = \pi (1 + \frac{e^2 - e^{-2}}{4})$