$(2x - y)^7$ の展開式における $x^4y^3$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(2x - y)^7$ の展開式における $x^4y^3$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式を考えます。

$(a+b)^n$ の展開式における一般項は ${}_n C_r a^{n-r} b^r$ で表されます。

今回の問題では $a = 2x$, $b = -y$, $n = 7$ となります。

$x^4y^3$ の項を探すので、$2x$ の指数が4、$(-y)$の指数が3となるように $r$ を定めます。

つまり、$n-r = 4$ かつ $r = 3$ となるように $r$ を決めます。

$n=7$ なので、$r = 3$ となります。

したがって、$x^4y^3$ の項は ${}_7 C_3 (2x)^4 (-y)^3$ で表されます。

${}_7 C_3$ を計算すると、

$${}_7 C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$$

$(2x)^4$ を計算すると、

$$(2x)^4 = 2^4 x^4 = 16x^4$$

$(-y)^3$ を計算すると、

$$(-y)^3 = -y^3$$

したがって、$x^4y^3$ の項は

$$35 \times 16x^4 \times (-y^3) = -560x^4y^3$$

よって、$x^4y^3$ の項の係数は $-560$ となります。

3. 最終的な答え

-560