与えられた2変数多項式 $6x^2 - 5xy + y^2 - 8x + 2y - 8$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $6x^2 - 5xy + y^2 - 8x + 2y - 8$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$6x^2 + (-5y-8)x + (y^2+2y-8)$

次に、定数項 $y^2+2y-8$ を因数分解します。

$y^2+2y-8 = (y+4)(y-2)$

すると、式は次のようになります。

$6x^2 - (5y+8)x + (y+4)(y-2)$

次に、$6x^2$の項を $3x$ と $2x$に分解することを考えます。

$(3x+ay+b)(2x+cy+d)$を展開して元の式と係数を比較することを考えます。

$6x^2 - (5y+8)x + (y+4)(y-2)$

$=6x^2 - (5y+8)x + y^2+2y-8$

$y^2+2y-8 = (y+4)(y-2)$より

$(3x + y+4)(2x + y-2)$を考えます。

$(3x + y+4)(2x -y+2)$を考えます。

$(3x - y-4)(2x -y+2)$

$(3x - y +2 )(2x -y -4)$

$(3x -y + a )(2x -y + b)$としたとき、$ab=-8$かつ、$-2a-3b=-5$である必要があります。

また、$a+b=-2$である必要があります。

$6x^2 - 5xy + y^2 - 8x + 2y - 8 = (3x-y+2)(2x-y-4)$

となるか確認します。

$(3x-y+2)(2x-y-4) = 6x^2 - 3xy + 4x -2xy + y^2 - 4y + 4x -2y -8 = 6x^2 - 5xy + y^2 - 8x + 2y - 8$

3. 最終的な答え

$(3x-y+2)(2x-y-4)$