$a + b = 2$ かつ $ab = -1$ のとき、$a^2 + b^2$ と $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a + b = 2$ かつ $ab = -1$ のとき、$a^2 + b^2$ と $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a^2 + b^2$ の値を求めます。$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ という公式を利用します。

この公式を変形すると、$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ となります。

与えられた条件 $a + b = 2$ と $ab = -1$ を代入すると、

$a^2 + b^2 = (2)^2 - 2(-1) = 4 + 2 = 6$

次に、$\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ の値を求めます。これは通分して計算します。

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{b^2 + a^2}{ab}$

先ほど求めた $a^2 + b^2 = 6$ と、与えられた条件 $ab = -1$ を代入すると、

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{6}{-1} = -6$

3. 最終的な答え

$a^2 + b^2 = 6$

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = -6$