$n$を整数とするとき、$n^2$が奇数ならば、$n$は奇数であることを証明する。この命題の対偶を証明することで、元の命題を証明する。空欄ア、イ、ウ、エ、オを埋める問題。

1. 問題の内容

$n$を整数とするとき、$n^2$が奇数ならば、$n$は奇数であることを証明する。この命題の対偶を証明することで、元の命題を証明する。空欄ア、イ、ウ、エ、オを埋める問題。

2. 解き方の手順

* 対偶を考える: 元の命題「$n^2$が奇数ならば、$n$は奇数である」の対偶は、「$n$が偶数ならば、$n^2$は偶数である」。 よって、アは「偶数」、イは「偶数」である。

* $n$が偶数のとき、$n$は整数$k$を用いて、$n = 2k$と表される。よって、ウは「$2k$」である。

* $n^2$を計算する: $n = 2k$のとき、$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$。 よって、エは「$2 \cdot 2k^2$」である。

* $n^2$の偶奇を判定する: $2k^2$は整数であるから、$n^2 = 2(2k^2)$は偶数である。よって、オは「偶数」である。

3. 最終的な答え

ア: 偶数

イ: 偶数

ウ: $2k$

エ: $2 \cdot 2k^2$

オ: 偶数